Derive as funções dos itens “a” e “b” e calcule o limite do item “c”:

  1. f x = tan ⁡ x 3
  2. y t = 1 cos ⁡ t 2 - 1
  3. lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 / x

Passo 1

Fala aí, pessoal, vamos com calma nessa questão e ler o enunciado com carinho para não fazer besteira. Ele pede para calcular a DERIVADA das letras “a” e “b” e o LIMITE da letra “c”.

Então vamos começar pela derivada da letra “a”:

f x = tan ⁡ x 3

Veja que temos uma função que é x elevado ao cubo dentro de outra função que é a tangente, então precisamos aplicar a Regra da Cadeia:

f ' x = tan ⁡ x 3 ' = x 3 ' ⋅ sec 2 ⁡ x 3

Derivando esse pequeno polinômio que é x elevado ao cubo, encontramos:

f ' x = tan ⁡ x 3 ' = x 3 ' ⋅ sec 2 ⁡ x 3 = 3 x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x 3

Então chegamos na resposta final:

f ' x = 3 x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x 3

Terminamos a letra “a”, hora de derivar a letra “b”!

Passo 2

Na letra “b” nós vamos derivar a função:

y t = 1 cos ⁡ t 2 - 1

Como nós temos uma divisão, nós podemos usar a Regra do Quociente, beleza? E como se aplica a Regra do Quociente:

y ' t = 1 cos ⁡ t 2 - 1 ' = 1 ' ⋅ cos ⁡ t 2 - 1 - 1 ⋅ cos ⁡ t 2 - 1 ' cos ⁡ t 2 - 1 2

Sabemos que quando derivamos uma constante, o resultado é zero, então:

1 ' = 0

Enquanto no caso da derivada de:

( cos ⁡ t 2 ) '

Nós temos que aplicar a Regra da Cadeia, como fizemos na letra “a”:

( cos ⁡ t 2 ) ' = 2 t ⋅ ( - s e n ( t 2 ) )

Voltando para nossa derivada principal, temos:

y ' t = 1 ' ⋅ cos ⁡ t 2 - 1 - 1 ⋅ cos ⁡ t 2 - 1 ' cos ⁡ t 2 - 1 2

y ' t = 0 ⋅ cos ⁡ t 2 - 1 - 1 ⋅ ( 2 t ⋅ ( - s e n ( t 2 ) ) ) cos ⁡ t 2 - 1 2

Podemos simplificar e encontrar:

y ' t = 0 - 2 t ⋅ ( - s e n ( t 2 ) ) cos ⁡ t 2 - 1 2 = 2 t ⋅ s e n t 2 cos ⁡ t 2 - 1 2

Prontinho, nem doeu e já acabou a letra “b”!

Passo 3

Se você chegou comigo até aqui, a letra “c” nos pede para fazer um limite bem interessante, veja:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 / x

Uma soma elevada a uma função de x , sabe o que isso lembra? O Limite Fundamental Exponencial:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Bem, teremos que fazer algumas modificações no nosso limite inicial, mas vamos tentar colocar nesse formato aí. Começando por dentro daquela soma:

3 x = 1 u

Então:

u = 1 3 x

Você concorda comigo que se eu levar o valor de x para o limite, onde ele assuma valores muito próximos de zero, o valor de u vai crescer tanto que ele se aproxima de infinito? Então:

l i m x → 0 + = l i m u → ∞

Então, até agora temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 / x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 1 / x

Falta só modificar esse valor do expoente:

1 x

Já que:

x = 1 3 u

Então:

1 x = 1 1 3 u = 3 u

Voltando ao limite:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u

Agora sim, estamos exatamente no formato do Limite Fundamental Exponencial. Vamos resolver? Veja:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3

Como sabemos que:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Então substituindo:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3 = e 3

Logo, chegamos em nosso limite lá do início:

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = e 3

Resposta

  1. f ' x = 3 x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x 3

  2. y ' t = 2 t ⋅ s e n t 2 cos ⁡ t 2 - 1 2

lim x → 0 + ⁡ 1 + 3 x 1 x = e 3

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