20 – Derive.

t) f x = x e - 2 x sec ⁡ 3 x

Passo 1

Fala aí, meu amigo! Tudo belezinha com você?

Vem comigo que vou lhe ajudar a deixar essa questão mais tranquila pra gente resolver. 😉👍

A questão está querendo que a gente calcule a derivada da seguinte função:

f x = x e - 2 x sec ⁡ 3 x

Nesse momento a gente tem que ter um pouquinho de sangue frio e calma, porque sabemos que essa função aí não é das mais bonita que a gente já viu, não é mesmo?

Repare bem nela. Temos um quociente onde o numerado é o produto da função x pela função e - 2 x , que é uma função composta, e no denominador temos a função sec ⁡ ( 3 x ) , que também é uma função composta.

Da maneira como essa função está escrita, acaba ficando bem trabalhoso fazer a sua derivada. Então nós vamos tentar facilitar um pouco as coisas olhando para a função sec ⁡ 3 x . Lembrando que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Pois é! Podemos fazer o inverso e dizer que 1 sec ⁡ ( 3 x ) = cos ⁡ ( 3 x ) e substituir na função para torná-la um produto de três funções.

Bora comigo ver como fica isso. 😎

Passo 2

Então vamos tranformar nossa função original.

f x = x e - 2 x sec ⁡ 3 x = x e - 2 x cos ⁡ 3 x

Assim, a função que vamos derivar agora é:

f x = x ⋅ e - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x

Que é um produto entre três funções:

A primeira função que é:

h x = x

A segunda função que é:

g x = e - 2 x

E a terceira função que é

l x = cos ⁡ ( 3 x )

Então, basta usarmos a regra do produto, que diz o seguinte:

f ' x = h ' x · g x ⋅ l x + h x · g ' x ⋅ l x + h x · g x ⋅ l ' x

Repare que a derivada será a soma de três parcelas onde cada uma possui a derivada de uma das funções e a repetição das outras.

Se estiver tudo ok até aqui, vamos começar a desenvolver essas derivadas!

Passo 3

Vamos começar com a derivada da função x , que é uma potência de grau 1:

Assim,

h x = x

h ' x = 1

E teremos nossa primeira parcela da derivada da função f ( x ) . Que é a derivada da primeira, vezes a segunda, vezes a terceira.

f ' x = 1 ⋅ e - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x + …

Passo 4

Agora vamos focar na segunda função, a g x = e - 2 x .

Ela é uma função composta do tipo e u , onde u = - 2 x .

A derivada dessa função é dada por

g ' x = e u ⋅ d u = e - 2 x ⋅ ( - 2 )

E formamos nossa segunda parcela da derivada da função f ( x ) . Que é a primeira, vezes a derivada da segunda, vezes a terceira.

f ' x = 1 ⋅ e - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x + x ⋅ ( - 2 e - 2 x ) ⋅ cos ⁡ 3 x + …

Passo 5

Chegou a hora de fazermos a última derivada, a derivada da função l x = cos ⁡ 3 x . Ela também é uma função composta, pois temos o 3 x dentro da função c o s s e n o . Então vamos usar a regra da cadeia para encontrar sua derivada:

l ' x = l ' u · d u

l x = cos ⁡ 3 x

l ' x = - sen ⁡ 3 x ⋅ 3

E formamos nossa terceira parcela da derivada da função f ( x ) . Que é a primeira, vezes a segunda, vezes a derivada da terceira.

f ' x = 1 ⋅ e - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x + x ⋅ ( - 2 e - 2 x ) ⋅ cos ⁡ 3 x + x ⋅ e - 2 x ⋅ - 3 sen ⁡ 3 x

Prontinho! Essa é a derivada na função f x .

Passo 6

Agora que já encontramos nossa derivada, vamos arrumar os sinais e colocar e - 2 x no denominador alterando o sinal do expoente, pra nossa resposta ficar mais bonita.

f ' x = cos ⁡ 3 x - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x - 3 x ⋅ sen ⁡ 3 x e 2 x

E é isso pessoal. Espero ter ajudado! 😎

Resposta

f ' x = cos ⁡ 3 x - 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x - 3 x ⋅ sen ⁡ 3 x e 2 x

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos sec ⁡ x
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o t gx