Derive:

d) y = sin ⁡ x 3

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = sin ⁡ x 3 e logo f x + h = sin ⁡ x + h 3 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 - sin ⁡ x 3 h

Sabendo que o limite da soma é a soma dos limites, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 - sin ⁡ x 3 h = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h

E então podemos analisar cada limite separadamente para acharmos a derivada de f x = sin ⁡ x 3

Passo 3

Então para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h

Vemos que se fizemos h = 0 temos uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h = sin ⁡ x 3 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h = lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ x + h 3 d d h ( h )

Sabemos que a derivada do seno é dada por d d x sin ⁡ a = a ' cos ⁡ a , por exemplo. Assim, se fizermos a = x + h 3 temos que a derivada fica:

d d h sin ⁡ x + h 3 = d d h ( x + h 3 ) cos ⁡ x + h 3 = 3 x + h 2 cos ⁡ x + h 3

Então voltando ao que tínhamos:

lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ x + h 3 d d h h = lim h → 0 ⁡   3 x + h 2 cos ⁡ x + h 3 1

Então agora sim se fizermos h = 0 temos:

lim h → 0 ⁡   3 x + h 2 cos ⁡ x + h 3 1 = 3 x 2 cos ⁡ x 3

E acharmos a nossa primeira parte do nosso limite. Vamos para o segundo?

Assim, para o segundo:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h

Novamente, veja que se fizermos h = 0 dará uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h = sin ⁡ x 3 0

Mais uma vez aplicando a regra de L’hospital

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h = lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ x 3 d d h ( h )

Mas veja que sin ⁡ x 3 não depende de h , logo ele é constante para h , certo? Então a derivada de algo constante, como sabemos, é nula. Assim:

lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ x 3 d d h h = lim h → 0 ⁡ 0 1

E portanto:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos o valor do nosso segundo limite. MAAS...

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Agora que já temos os dois limites, vamos ver como fica a derivada?

Passo 4

Assim, tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h

Obtivemos que:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x + h 3 h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ x 3 h = 3 x 2 cos ⁡ x 3 - 0

Assim concluímos que:

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3

E achamos, portanto, a derivada de f x = sin ⁡ x 3

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

y ' = 3 x 2 cos ⁡ x 3

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