Derive:

l) y = sin ⁡ cos ⁡ x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = sin ⁡ cos ⁡ x , assim f x + h = sin ⁡ cos ⁡ x + h . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h - sin ⁡ cos ⁡ x h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h - sin ⁡ cos ⁡ x h = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h

Primeiramente, vemos que se h = 0 temos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h = sin ⁡ cos ⁡ x 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h = lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ cos ⁡ x + h d d h h

Rapaz, como que deriva?

Para derivarmos uma função seno é do seguinte modo:

d d x sin ⁡ x = x ' cos ⁡ x

Assim:

d d h sin ⁡ cos ⁡ x + h = d d h cos ⁡ x + h cos ⁡ cos ⁡ x + h

E aí voltamos ao que tínhamos skskskskks como que derivada o cosseno?

A derivada do cosseno é dada por:

d d x cos ⁡ x = x ' - sin ⁡ x

De forma que:

d d h cos ⁡ x + h = - sin ⁡ x + h

E voltando ao que estávamos fazendo:

d d h cos ⁡ x + h cos ⁡ cos ⁡ x + h = - sin ⁡ x + h cos ⁡ cos ⁡ x + h

E antes disso:

lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ cos ⁡ x + h d d h h = lim h → 0 ⁡   - sin ⁡ x + h cos ⁡ cos ⁡ x + h 1

E agora sim, se fizermos:

lim h → 0 ⁡   - sin ⁡ x + h cos ⁡ cos ⁡ x + h 1 = - sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x

E achamos a nossa primeira derivada. Vamos para a segunda?

Passo 4

Temos:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x h

Veja que novamente se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x h =   sin ⁡ cos ⁡ x 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Então derivando:

lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ cos ⁡ x d d h h

E temos a derivada do cosseno novamente huehue

mas calma, calma... Veja que sin ⁡ cos ⁡ x é constante para h , ou seja, não depende de h . E sabemos que a derivada é variação, e se não varia, significa que a derivada é nula. Concluindo:

d d h sin ⁡ cos ⁡ x = 0

De forma que:

lim h → 0 ⁡   d d h sin ⁡ cos ⁡ x d d h h = lim h → 0 ⁡ 0 1

Concluímos que:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos então o valor da nossa segunda derivada.

Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 5

Então tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x h

E achamos que:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x + h h - lim h → 0 ⁡   sin ⁡ cos ⁡ x h = - sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x - 0

E ao final, concluímos que:

f ' x = - sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x

Que é, portanto, a derivadas de f x = sin ⁡ cos ⁡ x

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = - sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ x

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x