Determine a derivada de cada função:

(21) x cot ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = x cot ⁡ x

Como a gente tem um produto de funções, nada mais justo que usar a regra do produto na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

h x ∙ g ( x ) ' = h ' x ∙ g x + h x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, h x = x e g x = cot ⁡ x . Então, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = x ' ( cot ⁡ x ) + ( x ) ( cot ⁡ x ) '

Nós temos uma função polinomial, h x = x , que pode ser derivada pela regra da potência:

d d x x n = n x n - 1

E uma função trigonométrica, g x = cot ⁡ x , que tem sua derivada tabelada dadas por:

cot ⁡ x ' = - csc 2 ⁡ x

Então, juntando tudo na fórmula da regra do produto, vamos ter:

f ' x = ( x 1 - 1 ) ∙ cot ⁡ x + x ( - csc 2 ⁡ x )

f ' x = cot ⁡ x - x csc 2 ⁡ ( x )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

cot ⁡ x - x csc 2 ⁡ ( x )

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x