Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:

c )   f ( x ) = ( 1 - x ) c o s ( x ) d ) f ( x ) = e s e n ( x ) + l n ( 5 x + 4 )

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá duas funções

c )   f ( x ) = ( 1 - x ) c o s ( x ) d ) f ( x ) = e s e n ( x ) + l n ( 5 x + 4 )

precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de

f ( x ) = ( 1 - x ) c o s ( x )

temos que a função acima é definida tal que f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , em que g ( x ) = 1 - x e h ( x ) = c o s ( x ) , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

Temos que

d d x [ 1 - x ] = d d x [ 1 ] - d d x [ x ] = - 1

em que usei a regra do tombo, e usei que a derivada de toda constante é zero! A segunda derivada que precisamos é conhecida da forma

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

A primeira derivada se torna então

d d x [ f ( x ) ] = ( - 1 ) h ( x ) + g ( x ) ( - s e n ( x ) ) = - c o s ( x ) - ( 1 - x ) s e n ( x )

Ou, simplificando, temos que

d d x [ f ( x ) ] = ( x - 1 ) s e n ( x ) - c o s ( x )

Beleza! Vamos para a segunda agora!

Passo 3

Usando o resultado que acabamos de obter temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ d d x [ f ( x ) ] ] = d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) - c o s ( x ) ]

que é o mesmo que

d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) - c o s ( x ) ] = d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) ] - d d x [ c o s ( x ) ]

Podemos usar a derivada conhecida

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

e, usando a regra do produto novamente

d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) ] = d d x [ ( x - 1 ) ] s e n ( x ) + ( x - 1 ) d d x [ s e n ( x ) ]

expandindo os termos, temos que

d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) ] = [ d d x [ x ] - d d x [ 1 ] ] s e n ( x ) + ( x - 1 ) d d x [ s e n ( x ) ]

Usando a derivada conhecida

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

de forma que usando algumas derivadas que já calculamos antes, temos que

d d x [ ( x - 1 ) s e n ( x ) ] = s e n ( x ) + ( x - 1 ) c o s ( x )

e, a nossa segunda derivada se torna

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = ( s e n ( x ) + ( x - 1 ) c o s ( x ) ) - ( - s e n ( x ) ) = 2   s e n ( x ) + ( x - 1 ) c o s ( x )

Beleza! Vamos calcular agora as derivadas da outra função! Saca só!

Passo 4

Temos agora a função

f ( x ) = e s e n ( x ) + l n ( 5 x + 4 )

a derivada dessa função será dada por

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ e s e n ( x ) ] + d d x [ l n ( 5 x + 4 ) ]

ou seja, temos duas derivadas de funções compostas para calcular! Portanto, iremos usar a regra da cadeia

d d x [ g ( x ) ] = d d x [ h ( i ( x ) ) ] = d   h ( i ) d i d   i ( x ) d x

Vamos fazer individualmente para cada parte! Saca só!

Passo 5

Começando com

d d x [ e s e n ( x ) ]

usando que h ( i ) = e i , em que i ( x ) = s e n ( x ) , podemos usar que

d d i e i = e i = e s e n ( x )

e, também a derivada do seno que apresentamos antes, para obter

d d x [ e s e n ( x ) ] = ( e s e n ( x ) ) ( c o s ( x ) ) = e s e n ( x ) c o s ( x )

Agora, temos a seguinte derivada

d d x [ l n ( 5 x + 4 ) ]

novamente é uma função composta, usando a regra da cadeia novamente, mas agora com h ( i ) = l n ( i ) e i ( x ) = 5 x + 4 , temos que

d d x [ l n ( 5 x + 4 ) ] = d d i [ l n ( i ) ] d d x [ 5 x + 4 ]

temos a derivada conhecida

d d i [ l n ( i ) ] = 1 i = 1 5 x + 4

e, usando a regra do tombo, temos que

d d x [ 5 x + 4 ] = 5 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 5

Portanto, a derivada é tal que

d d x [ l n ( 5 x + 4 ) ] = ( 1 5 x + 4 ) ( 5 ) = 5 5 x + 4

e, juntando os dois últimos resultados que obtivemos, temos que nossa derivada se torna

d d x [ f ( x ) ] = e s e n ( x ) c o s ( x ) + 5 5 x + 4

Beleza! Essa foi a primeira! Vamos para a segunda agora!

Passo 6

Usando o resultado que acabamos de obter podemos escrever que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ e s e n ( x ) c o s ( x ) ] + d d x [ 5 5 x + 4 ]

Ou seja, temos duas derivadas para resolver, a primeira é da forma

d d x [ e s e n ( x ) c o s ( x ) ]

usando a regra do produto, podemos expandir essa derivada como

d d x [ e s e n ( x ) c o s ( x ) ] = d d x [ e s e n ( x ) ] c o s ( x ) + e s e n ( x ) d d x [ c o s ( x ) ]

Nós já tínhamos calculado que

d d x [ e s e n ( x ) ] = e s e n ( x ) c o s ( x )

e, usando a derivada conhecida do cosseno que apresentamos anteriormente, temos que

d d x [ e s e n ( x ) c o s ( x ) ] = ( e s e n ( x ) c o s ( x ) ) c o s ( x ) + e s e n ( x ) ( - s e n ( x ) ) = e s e n ( x ) [ c o s 2 ( x ) - s e n ( x ) ]

Beleza! A outra derivada precisará da regra do quociente! Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 7

Temos que calcular a derivada

d d x [ 5 5 x + 4 ]

como este é um quociente da forma f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) , podemos derivar essa relação usando a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

identificando que g ( x ) = 5 e h ( x ) = 5 x + 4 , temos que

d d x [ 5 5 x + 4 ] = d d x [ 5 ] ( 5 x + 4 ) - 5 d d x [ ( 5 x + 4 ) ] [ 5 x + 4 ] 2 = - 25 ( 5 x + 4 ) 2

em que usei a regra do tombo e que derivadas das constantes são todas zero! A segunda derivada que queríamos toma então a forma

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = ( e s e n ( x ) [ c o s 2 ( x ) - s e n ( x ) ] ) + ( - 25 ( 5 x + 4 ) 2 ) = e s e n ( x ) [ c o s 2 ( x ) - s e n ( x ) ] - 25 ( 5 x + 4 ) 2

Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

c ) d d x [ f ( x ) ] = ( x - 1 ) s e n ( x ) - c o s ( x ) e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2   s e n ( x ) + ( x - 1 ) c o s ( x )

d ) d d x [ f ( x ) ] = e s e n ( x ) c o s ( x ) + 5 5 x + 4 e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = e s e n ( x ) [ c o s 2 ( x ) - s e n ( x ) ] - 25 ( 5 x + 4 ) 2

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