2. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

b. y = 2 x + tan ⁡ x ,   ( π ,   2 π )

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos encontrar a reta tangente à curva no ponto ( π , 2 π ) .

Para quem não lembra, para encontrar a reta tangente a uma curva, usamos a seguinte equação:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde x 0 , y 0 são os pontos na curva e y ' é a derivada no ponto x 0 .

Pelo enunciado já temos então que

x 0 = π

y 0 = 2 π

Agora falta encontrar a derivada!

Passo 2

O enunciado quer a reta tangente a seguinte curva

  y = 2 x + tan ⁡ x

Derivando,

y ' = 2 x ' + tan ⁡ x '

A derivada de 2 x ' = 2 , mas agora temos que achar a derivada de tan ⁡ x ' .

Para quem não lembran, temos que

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Sendo assim, para derivada tan ⁡ x , vamos aplicar a regra do quociente.

tan ⁡ x ' = sin ⁡ x cos ⁡ x '

Aplicando a regra do quociente, ficamos com

tan ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - - sin ⁡ x ( sin ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

tan ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Como temos a seguinte identidade trigonométrica,

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

Temos,

tan ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ x

Logo,

y ' = 2 + 1 cos 2 ⁡ x

Agora precisamos encontrar a derivada no ponto!

Passo 3

Como precisamos achar a derivada no ponto x 0 = π . Vamos substituir:

y π ' = 2 + 1 cos 2 ⁡ π

Como cos ⁡ π = 1 , temos que

y π ' = 2 + 1 1 = 2 + 1 = 3

Agora vamos voltar para equação!

Passo 4

Tinhamos a seguinte equação geral da reta tangente,

y - y 0 = y ' x - x 0

Substituindo os dados que encontramos, ficamos com

y - 2 π = 3 x - π

y - 2 π = 3 x - 3 π

y = 3 x - π

Prontinho!

Resposta

y = 3 x - π

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