Nos itens abaixo, calcule a derivada até a ordem n indicada.

f x = s e n ( a x )   ,     n = 7

Passo 1

O enunciado pede pra gente derivar essa função 7 vezes, então vamos fazer isso!

Note que está é uma função trigonométrica com outra função dentro, certo? Então vamos aplicar a regra da cadeia na f ( x )

f ' x = d e r i v a d a   d a   d e   f o r a × d e r i v a d a   d a   d e   d e n t r o

Quem é a função que está do lado de fora? Seria a função mais externa que é o s e n , certo? E a função “de dentro” seria o a x , beleza?

f ' x = cos ⁡ a x d d x a x

f ' x = a   c o s ⁡ ( a x )

Note que agora vamos ficar num “loop” até a derivada de ordem 7 para encontrar o que queremos, massss antes vamos derivar só mais uma vez pra ver se encontramos alguma propriedade que poderia ser aplicada na derivada.

Passo 2

Fazendo a segunda derivada, temos?

f ' ' x = d d x a cos ⁡ a x

f ' ' = a d d x cos ⁡ a x

Vamos ter que aplicar novamente a regra da cadeia igual fizemos no passo 1, então teremos:

f ' ' = - a   s e n a x d d x ( a x )

O sinal de menos surgiu porque quando derivamos cosseno, temos MENOS seno como resultado, beleza?

f ' ' x = - a 2   s e n ( a x )

Opa, nossa derivada segunda (ordem n = 2 ) voltou a ter um pedacinho que era parte da função original dada pelo enunciado, certo? Além disso, a constante a aparece elevada a ordem da derivada. TCHARAAAAAMMMM, encontramos então uma certa “regrinha” que está sendo aplicada aqui, afinal, se você fosse derivar de novo essa função aí de cima teríamos:

f ' ' ' x = - a 3 c o s ⁡ ( a x )

Vamos observar agora quanto ao sinal que está aparecendo ali na frente. Você concorda comigo que quando eu derivar de novo, o sinal vai se tornar positivo por conta da derivada do cosseno, certo?

O que você observa? Que a cada 2 derivadas o sinal está mudando, e que nas derivadas de ordem ímpar temos o c o s s e n o como função trigonométrica.

Portanto se precisamos derivar até a ordem n = 7 , sabemos que teremos algo assim:

f V I I x = a 7 c o s ⁡ ( a x )

Mas e quanto ao sinal? Vamos avaliar, pois sabemos que a cada duas derivadas temos a mudança de sinal, começando pelo sinal positivo.

Então, temos:

Ordem 2 negativo

Ordem 4 Positivo

Ordem 6 Negativo

Ordem 7 Negativo

Logo, temos:

f V I I x = - a 7 c o s ⁡ ( a x )

Resposta

f V I I x = - a 7 c o s ⁡ ( a x )

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