Prove que

d d x arccos ⁡ x   = - 1 1 - x 2

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!?

Pra resolver esse probleminha aqui, vamos precisar nos remeter a duas coisas!!

A primeira é, vamos dizer que cos ⁡ α = x , ou seja, o cosseno de um ângulo qualquer vai ter um valor x, ok?

E outra coisinha é lembrar da relação fundamental s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 .

A gente agora vai fazer uma série de substituições e algebrismo que vou fazer bem passo-a-passo pra gente não se perder, ok?

Passo 2

Bem, se cos ⁡ α = x , logo, temos que cos 2 ⁡ α = x 2 . Substituindo isso na nossa relação fundamental, temos que:

s e n 2 α + x 2 = 1

Isolando s e n   α , temos:

s e n α = 1 - x 2

Passo 3

Aplicando a derivada em cos ⁡ α = 1 , temos:

d d x cos ⁡ α = d d x ( x )

Precisamos aplicar a regra da cadeia do lado esquerdo, temos:

- s e n α × α ' = 1

α ' = - 1 s e n α

Passo 4

Se sabemos que cos ⁡ α = x

Temos que arccos ⁡ x = α

E, portanto, temos também que:

arccos ' ⁡ x = α '

arccos ⁡ x ' = - 1 s e n α

Porém, vimos que s e n α = 1 - x 2

arccos ' ⁡ x = - 1 1 - x 2

Resposta

Demonstração

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x