Considere a função abaixo:

Onde n é um número inteiro positivo. Para que valores de n a função f é derivável em x = 0 ? Para que valores de n a função f é contínua em x = 0 ?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos avaliar a seguinte função

em que n é um inteiro positivo, e identificar para quais valores de n está função é derivável e para quais valores é uma função é contínua em x = 0 . Vamos analisar as condições que estabelecem que uma função seja derivável em um ponto, assim como as condições para que ela seja contínua, e ver se isso vincula de alguma forma os valores possíveis de n . Vamos lá!

Passo 2

Para verificar se a função é diferenciável é conveniente avaliarmos primeiro a sua continuidade, uma vez que, uma função que não pode ser diferenciável se não for contínua no ponto! A definição de continuidade é tal que

f ( 0 ) = l i m x → 0 f ( x )

Note que quando x = 0 , temos que a função é f ( 0 ) = 0 . Mas, como garantimos que o limite do lado direito existe? Precisamos calcular os limites laterais

l i m x → 0 + f ( x ) e l i m x → 0 - f ( x )

ou seja, aproximar a função de x = 0 por valores levemente menores (-) e por valores levemente maiores (+), note que para valores menores, nossa função é nula, portanto

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 - [ 0 ] = 0

e, para valores levemente maiores, temos que

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 + x n = 0

contanto que n ≠ 0 , já que 0 0 = 1 por definição. Sendo assim, contanto que n ≠ 0 , temos que a função é contínua em x = 0 , já que

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x ) = f ( 0 )

Vamos verificar a diferenciabilidade agora! Saca só!

Passo 3

Para que a função seja diferenciável em um ponto, precisamos que o seguinte limite exista

l i m x → 0 f ( x ) - f ( 0 ) x - 0 = l i m x → 0 f ( x ) x

que pode ser simplificado já que a função é contínua em f ( 0 ) . O limite para valores levemente menores é tal que

l i m x → 0 - f ( x ) x = l i m x → 0 - 0 = 0

já que a função é identicamente nula, agora, para valores levemente maiores, temos que

l i m x → 0 + f ( x ) x = l i m x → 0 + x n x = l i m x → 0 + x n - 1

lembre que n ≠ 0 para ser contínua, agora, esta relação requer que n ≠ 1 , já que isso também nos levaria a 0 0 , tomando que n ≠ 1 , temos que

l i m x → 0 + f ( x ) x = 0 = l i m x → 0 - f ( x ) x

Portanto, contanto que

n ∈ ℤ - { 0,1 }

a função será contínua e derivável! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

n ∈ ℤ - { 0,1 }

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