Considere a função f : ℝ → ℝ definida por f ( x ) = x | x | .

b ) Existe f ' ( 0 ) ?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma função f : ℝ → ℝ , com a definição

f ( x ) = x | x |

precisamos determinar se existe f ' ( 0 ) . Para isso, vamos lembrar a definição de derivada

f ' ( 0 ) = l i m h → 0 f ( 0 + h ) - f ( 0 ) h

Se esse limite existir, a nossa derivada existe! Bora lá!

Passo 2

Como podemos garantir que esse limite existe? Podemos calcular os limites laterais usando a nossa função

f ( x ) = x | x |

note que pela definição de módulo temos que | x | = - x se x < 0 e | x | = x se x > 0 , portanto, assim como na alternativa anterior, podemos escrever que

f ( x ) = - x 2 se x < 0 e f ( x ) = x 2 se x > 0

Sendo assim os limites laterais se tornam

l i m h → 0 + f ( 0 + h ) - f ( 0 ) h = l i m h → 0 + ( 0 + h ) 2 - 0 h = l i m h → 0 + h 2 h

que é simplesmente

l i m h → 0 + h 2 h = 0

e, da mesma forma, temos que

l i m h → 0 - - h 2 h = 0

portanto, o limite existe, sendo assim, a função é diferenciável! Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

A derivada existe!

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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .