Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

c) f é uma função diferenciável em todo seu domínio?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pergunta se a seguinte função f x é diferenciável em todo o seu domínio:

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Lembrando que já descobrimos o domínio D da função na letra a):

D = x ∈ R | x ≠ 0

Agora, para verificar a diferenciabilidade de f ( x ) em todo o seu domínio, precisamos analisar a continuidade da função e, em seguida, verificar se a derivada existe para todos os pontos dentro do domínio.

E aí, bora lá?

😉

Passo 2

Vamos analisar primeiramente a continuidade para f x .

  • Para x ≠ 0 :
  • A função f ( x ) é composta por um polinômio ( x ) e o produto de duas funções contínuas x 3 e sin ⁡ 1 x .

    A soma e o produto de funções contínuas resultam em uma função contínua.

    Portanto, f ( x ) é contínua para x   ≠   0 .

  • Para x = 0 :
  • A função f ( x ) é definida como f ( 0 )   =   0 .

    No entanto, podemos verificar que a função é contínua em x   =   0 , pois:

    lim x → 0 ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x ∴

    = lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ x 3 sin ⁡ 1 x ∴

    = 0 + 0 ∴

    = 0

    Portanto, a função f ( x ) é contínua em todo o seu domínio, inclusive em x   =   0 .

    Passo 3

    Agora, vamos calcular a derivada de f ( x ) para determinar se ela existe em todo o seu domínio.

  • Para x ≠ 0 :
  • f ' x = d d x x + x 3 sin ⁡ 1 x ∴

    f ' x = 1 + 3 x 2 sin ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

    Logo, vemos que a derivada existe para todos os valores de x diferentes de zero.

    Passo 4

  • Para x = 0 :

Para calcular a derivada em x = 0, usamos a definição de derivada:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

Substituindo f x e x = 0 , temos:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h + h 3 sin �� 1 h - 0 h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h + h 3 sin ⁡ 1 h h

Aplicando o limite, temos:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 sin ⁡ 1 h

Percebemos que temos uma forma indeterminada do tipo 0 0 .

Nesse caso aqui, vamos utilizar o Teorema do Confronto para verificarmos a derivada em x = 0 :

Sabemos que:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 h ≤ 1

Multiplicando por h 2 , temos:

- h 2 ≤ h 2 sin ⁡ 1 x ≤ h 2

Somando com 1 , temos:

1 - h 2 ≤ 1 + h 2 sin ⁡ 1 x ≤ 1 + h 2

Tomando o limite quando h se aproxima de 0 , temos:

lim h → 0 ⁡ 1 - h 2 = 1 e lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 = 1

Dessa forma, pelo Teorema do Confronto, temos que:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 sin ⁡ 1 x = 1

Concluindo, temos que a derivada de f ( x ) existe em todos os pontos do domínio, incluindo x   =   0 .

Portanto, a função f ( x ) é diferenciável em todo o seu domínio.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função f ( x ) é diferenciável em todo o seu domínio

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