Considere f ( x )   = x 2 3

c. Interprete geometricamente o fato de que f não é derivável em x = 0, mas a curva γ é derivável em t 0 , onde γ ( t 0 )   = ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que

γ ( t ) = ( t 3 ,   t 2 ) .

Então, se γ ( t 0 )   = ( 0 ,   0 ) , temos que t 0 = 0 . Assim, vamos encontrar a derivada da curva nesse ponto. E vamos interpretar geometricamente porque ela existe, enquanto que a derivada da função não é definida nesse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fazendo a derivada da curva em t 0 = 0 :

γ ' ( t ) = ( 3 t 2 ,   2 t )

γ ' ( 0 ) = ( 0 ,   0 ) .

Passo 3

Temos que a função f ( x )   = x 2 3 tem um ponto de indeterminação em x = 0 , ou seja, a função tem uma ponta e não é contínua. Enquanto que a curva de parametrização é contínua em t = 0 e também tem imagem apenas no primeiro quadrante do plano xy. Então, essa é a interpretação geométrica, a função f não é contínua em x = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .