Dê um contraexemplo quando f(a) = g(a).

Passo 1

Olá meu amigo, se caiu nessa alternativa de paraquedas preciso te dizer que voce deve voltar uma letra para entender o que iremos fazer aqui, se já passou pela letra anterior seja muito bem vindo.

Se ( f a = g a ) no ponto ( a ) , então as funções ( f )   e   ( g ) não têm valores diferentes nesse ponto. Nesse caso, não é possível definir claramente uma função ( max ⁡ f , g ) ou ( min ⁡ f , g ) , pois a escolha entre ( f a ) e ( g a ) não é única.

Para dar um exemplo mais concreto, consideremos duas funções idênticas ( f x = g x = x ) para todos os valores de ( x ) , e vamos avaliar a diferenciabilidade de ( max ⁡ f , g ) e ( min ⁡ f , g ) em ( a   =   0 ) .

Para ( max ⁡ f , g ) , teríamos ( max ⁡ f , g x = max ⁡ x , x = x ) , o que significa que ( max ⁡ f , g ) é igual a ( f )   e   ( g ) em todos os pontos. Nesse caso, a função ( max ⁡ f , g ) é igual a ( f )   e   ( g ) em todos os pontos e, portanto, é diferenciável em ( a   =   0 ) , com derivada ( f ' 0 = g ' 0 = 1 ) .

Passo 2

Para ( min ⁡ f , g ) , teríamos ( min ⁡ f , g x = min ⁡ x , x = x ) , novamente, a função ( min ⁡ f , g ) é igual a ( f )   e   ( g ) em todos os pontos. Assim, a função ( min ⁡ f , g ) também é diferenciável em ( a   =   0 ) , com derivada ( f ' 0 = g ' 0 = 1 ) .

Portanto, nesse caso específico em que ( f a = g a ) , as funções ( max ⁡ f , g ) e ( min ⁡ f , g ) também são diferenciáveis em   ( a )   e têm a mesma derivada ( f ' a = g ' a ) . Isso não contradiz a afirmação original que fizemos, porque estamos lidando com um caso especial onde as fun��ões ( f )   e   ( g ) são iguais.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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