Decida, justificando ou apresentando contra-exemplo, se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa:

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. E no caso em que f( x 0 ) = 0?

b. Se f, g são duas funções deriváveis em x 0 , então as funções h 1 ( x )   =   m a x {   f ( x ) ,   g ( x ) } e h 2 ( x )   =   m i n {   f ( x ) ,   g ( x ) } são deriváveis em x 0 ;

c. Suponha   f ( x )   =   x g ( x ) , onde g é uma função contínua em   x 0   = 0. Então f é derivável em   x 0   = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;

d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que decidir, justificando ou apresentando contra-exemplo, se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa:

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. E no caso em que f( x 0 ) = 0?

b. Se f, g são duas funções deriváveis em x 0 , então as funções h 1 ( x )   =   m a x {   f ( x ) ,   g ( x ) } e h 2 ( x )   =   m i n {   f ( x ) ,   g ( x ) } são deriváveis em x 0 ;

c. Suponha   f ( x )   =   x g ( x ) , onde g é uma função contínua em   x 0   = 0. Então f é derivável em   x 0   = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;

d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a primeira afirmação

a. Se f é derivável em x 0 , então | f(x)| é derivável em x 0 , desde que f( x 0 ) ≠0. E no caso em que f( x 0 ) = 0?

Temos que a derivada de uma função no ponto x 0 existe se os seus limites laterais existirem e forem iguais. Sendo f( x 0 ) ≠0, então não haverá troca de sinal nos limites laterais da função modular de f , que é o que faz com que ela seja descontínua e não derivável. Então, nessas condições a derivada da função modular deve existir no ponto x 0 .

Um contra-exemplo é a função f   ( x ) =|x| no ponto x 0 = 0 , pois o limite lateral esquerdo dessa função é -1 e o limite lateral direito dessa função é 1. Portanto, a derivada de f   ( x ) =|x| não existe para x 0 = 0 .

Passo 3

Olhando para a segunda afirmação:

b. Se f, g são duas funções deriváveis em x 0 , então as funções h 1 ( x )   =   m a x {   f ( x ) ,   g ( x ) } e h 2 ( x )   =   m i n {   f ( x ) ,   g ( x ) } são deriváveis em x 0 ;

Como as funções h 1 ( x )   e h 2 ( x )   no ponto x 0 serão iguais a uma das funções f ( x ) ,   g ( x ) , e essas são deriváveis em x 0 , temos que h 1 ( x )   e h 2 ( x )   também serão. Então a afirmação b. é verdadeira.

Passo 4

c. Suponha   f ( x )   =   x g ( x ) , onde g é uma função contínua em   x 0   = 0. Então f é derivável em   x 0   = 0. Se for verdadeira, calcule f ′ (0) em termos de g;

Sendo,

f ( x ) = x g ( x )

e g ( x ) é contínua em   x 0   = 0. Calculando a derivada de f ( x ) :

f ' ( x ) = g ( x ) + x   g ( x )

em   x 0   = 0

f ' ( 0 ) = g ( 0 ) + ( 0 )   g ( 0 ) = g ( 0 )

Assim, f é derivável em   x 0   = 0, pois g ( x ) é contínua em   x 0   = 0.

Então a afirmação c. é verdadeira e,

f ' ( 0 ) = g ( 0 ) .

Passo 5

Olhando para a afirmação:

d. É possível escrever x = f(x)g(x) com f , g deriváveis tais que f(0) = g(0) = 0.

Se temos

x = f   ( x ) g ( x )

Então, derivando dos dois lados com relação a x, temos

1 = f '   ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Essa relação deve ser válida para todo x, mas como f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 , temos que para x=0

f '   ( 0 ) 0 + 0 g ' ( 0 ) = 0

ela não é válida, então provamos que não podemos escrever

x = f   ( x ) g ( x )

para f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 , e f e g deriváveis. Logo a afirmação d. é falsa.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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