(2) Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r , se os eixos dos cilindros se intersectam em ângulos retos.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular o volume entre dois cilindros de raio r sendo que eles estão dispostos perpendicularmente com seus eixos centrais se cruzando.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para esse problema, temos que obter o cálculo do volume a partir da integral da área, ou seja

V = ∫ b a A x d x

Primeiro vamos analisar como é essa região entre os dois cilindros e verificar como a área A x se comporta.

Sacou? Bora começar? 😉

Passo 2

Para esboçar essa região podemos esboçar um cilindro cujo eixo central é o eixo y e outro no eixo z , veja só

Cada seção transversal do sólido S no plano perpendicular ao eixo x é um quadrado, um quarto desse quadrado e um oitavo de S é visto na figura abaixo:

Temos pela figura que os limites de integração são b = - r e a = r , e a área de um quarto de quadrado é dada pela expressão P Q 2 = r 2 - x 2 :

A x = 4 r 2 - x 2

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ b a A x d x = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora o que nos resta é calcular essa integral...

V = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x = ∫ - r r 4 r 2 - 4 x 2 d x

Pelo método de integração polinomial, temos

V = ∫ - r r 4 r 2 - 4 x 2 d x = 4 x r 2 - 4 x 3 3 - r r

V = 4 r r 2 - 4 r 3 3 - 4 - r r 2 - 4 - r 3 3

V = 4 r 3 - 4 r 3 3 + 4 r 3 - 4 r 3 3

V = 16 r 3 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 16 r 3 3

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