Mostre que se f e g são funções diferenciáveis em a , b e contínuas em a , b , com f ' x = g ' x para todo x ∈ a , b , então existe uma constante k ∈ R tal que f x = g x + k para todo x ∈ a , b .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para mostrar que f e g são funções diferenciáveis em a , b e contínuas em a , b , com f ' x = g ' x para todo x ∈ a , b , a gente pode usar o Teorema do Valor Médio.

Mas que teorema é esse?

O Teorema do Valor Médio estabelece que se uma função h ( x ) é contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) , então existe um ponto c ∈ ( a , b ) onde a derivada h ' ( c ) é igual à variação média da função h ( x ) no intervalo [ a , b ] .

Para isso, vamos definir uma nova função h x , onde:

h x = f x - g x

Onde essa função também é diferencial e contínua em a , b . Além disso, para as mesmas condições, temos que:

h ' x = f ' x - g ' x

Agora vamos aplicar o Teorema do Valor Médio.

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Aplicando o teorema, temos:

h ' c = h b - h a b - a  

Como h ' x = 0 para todo x ∈ a , b , então:

0 = h b - h a b - a ∴

h b - h a = 0 ∴

  h b = h a

Substituindo em h x , temos:

f b - g b = f a - g a ∴

f b = f a - g a + g b

Vamos definir que k = f a - g a . Assim, podemos escrever:

f b = g b + k

Com essa identidade é válida para todos os pontos de b no intervalo a , b , concluímos que:

f x = g x + k para todo x ∈ a , b .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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