3. Seja f : - 4,6 → R a funçã cujo gráfico está abaixo.

  1. Em quais pontos do domínio f não é contínua?
  2. Em quais pontos do domínio f não é diferenciavel?
  3. Represente graficamente f ' .

Passo 1

  1. Olá, galerinha! Tudo bom? Primeiro temos que dizer se há algum ponto onde a função não é continua.
  2. Como ele nos forneceu o gráfico, podemos responder essa pergunta apenas olhando para ele. A gente pode considerar que uma função é continua se conseguirmos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel.

    Opaaa, repara, que a gente consegue passar o lápis por todo gráfico desenhando a função sem tirá-lo do papel. Logo a função é continua e não há pontos descontinuidade.

    Passo 2

  3. Aqui temos que dizer em quais pontos as função não é diferenciavel. E para isso precisamos lembrar quais critérios devem ser atendidos para função ser diferenciavel.
  4. O primeiro é: funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.

    Agora, se a função for contínua (como acabamos de ver no item a ), ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ .

    f ' b - = f ' b + ≠ ± ∞

    Isso acontece quando a função muda de perfil, como é o caso do x = - 1 , + 1 e + 3 .

    Repara que nesses pontos, a função de comportamento, quando comparamos a função a esquerda e a direita. Logo a derivada

    f - ' ≠ f + '

    Passo 3

  5. Agora temos que representar graficamente da derivada da função. Para isso, temos que lembrar que a derivada é a variação de y em relação a x .

Como todas as partes da função são lineares, podemos calcular essa variação pelo delta, ou seja,

f ' = Δ y Δ x

Agora temos que calcular esse coeficiente para cada intervalo onde a função tem o mesmo comportamento.

Para o primeiro intervalo de - 4 , - 1 , temos

f ' = 4 - 1 - 4 - - 1 = - 1

Para o intervalo - 1 ,   + 1

f ' = 0 - 4 + 1 - - 1 = - 2

Para o intervalo   + 1 , + 3

f ' = 0 - - 1 3 - 1 = - 1 2

Para o intervalo + 3 , + 6

f ' = - 1 - - 1 6 - 3 = 0

Plotando cada coeficiente no gráfico, ficamos com

Resposta

  1. Nenhum
  2. - 1 ,   + 1   e + 3

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .