Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 6, Questão 8

Seja f tal que f ( x ) x ² , x   R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Observe o que podemos fazer coma desigualdade dada:

f x x x 2 x

f x x x

Tirando o módulo:

- x f x x x

- x ² f ( x ) x ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos usar o Teorema do Confronto para obter dados sobre a função f .

lim x 0 - x ² l i m x 0 f x l i m x 0   x ²

Sabemos que

lim x 0 - x ² = 0 = lim x 0 x ²

Assim, podemos afirmar que

l i m x 0 f x = 0

Além disso, sabemos que:

- 0 ² f ( 0 ) 0 ²

f 0 = 0

Passo 3

Por que fizemos isso? Para podermos usar essas informações e calcular a derivada pela definição.

l i m x 0 f x - f ( 0 ) x - 0

l i m x 0 f x - 0 x

l i m x 0 f x x = 0

Resposta

0

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