Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Ver Teoria

Enunciado

Seja f tal que f ( x ) ≤ x ² , ∀ x ∈   R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Observe o que podemos fazer coma desigualdade dada:

f x x ≤ x 2 x

f x x ≤ x

Tirando o módulo:

- x ≤ f x x ≤ x

- x ² ≤ f ( x ) ≤ x ²

Passo 2

Agora vamos usar o Teorema do Confronto para obter dados sobre a função f .

lim x → 0 ⁡ - x ² ≤ l i m x → 0 f x ≤ l i m x → 0   x ²

Sabemos que

lim x → 0 ⁡ - x ² = 0 = lim x → 0 ⁡ x ²

Assim, podemos afirmar que

l i m x → 0 f x = 0

Além disso, sabemos que:

- 0 ² ≤ f ( 0 ) ≤ 0 ²

f 0 = 0

Passo 3

Por que fizemos isso? Para podermos usar essas informações e calcular a derivada pela definição.

l i m x → 0 f x - f ( 0 ) x - 0

l i m x → 0 f x - 0 x

l i m x → 0 f x x = 0

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para to
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe