Seja f : R → R , tal que f x ≤ x 3 + x 2 , para todo x ∈ R . Mostre que f é derivável em x 0 = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede para mostrar que ela é derivável em x 0 = 0 .

Como estamos trabalhando com m��dulo, temos que saber que essa função pode ser vista de duas formas:

f x ≤ x 3 + x 2 = f x < x 3 + x 2

E

f x ≤ x 3 + x 2 = - f x > - x 3 + x 2

Depois, temos que analisar ambas as funções pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto), onde “estabelece que se f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todos os números, e existe um ponto x = k em que f ( k ) = h ( k ) , então g ( k )   deve ser igual a eles.”

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, vamos fazer primeiro para f x < x 3 + x 2 :

Podemos ver que existe limite de x 3 + x 2 quando x → 0 , ou seja:

f 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 = 0

Dadas essas condições, pelo Teorema do Sanduíche, como f x está limitado entre f x = 0 e f x = x 3 + x 2 , f ( x ) é derivável em x = 0 e f ' 0 = 0 .

Passo 3

Agora, para - f x > - x 3 + x 2 :

Por analogia, como - f x está limitado entre f x = 0 e f x = - x 3 + x 2 , pelo Teorema do Confronto, - f x é derivável e igual a 0.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .