Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 de Cálculo 2 da USP - Lista 3 - Módulo 3
24 Seja .
(a) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva que está na intersecção do gráfico de com o plano , no ponto .
Ver solução completa24 Seja .
(b) Idem para a curva que está na intersecção do gráfico com o plano , no ponto .
Ver solução completa26 Considere a função cuja lei é dada por .
(a) Encontre a aproximação linear de para no ponto .
Ver solução completa26 Considere a função cuja lei é dada por .
(b) Obtenha o valor aproximado de . Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.
Ver solução completaFaça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:
(a)
Ver solução completaFaça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:
(b)
Ver solução completaFaça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:
(c)
Ver solução completaFaça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:
(d)
Ver solução completaFaça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:
(e)
Ver solução completaPara cada item abaixo, encontre pelo menos duas funções a valores vetoriais e distintas satisfazendo a equação dada. (Conclui-se, assim, que uma parametrização de uma curva não é única.)
(a)
Ver solução completaPara cada item abaixo, encontre pelo menos duas funções a valores vetoriais e distintas satisfazendo a equação dada. (Conclui-se, assim, que uma parametrização de uma curva não é única.)
(c)
Ver solução completa4. Verifique se a curva parametrizada é regular no ponto . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto e determine a sua equação. Faça um esboço:
(a) , .
Ver solução completa4. Verifique se a curva parametrizada é regular no ponto . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto e determine a sua equação. Faça um esboço:
(b) ,
Ver solução completa5. Considere a curva parametrizada , . Verifique se tal curva admite reta tangente paralela ao vetor . Se sim, em qual(quais) ponto(s) da curva isso ocorre?
Ver solução completa7. Para as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
(a)
Ver solução completa7. Para as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
(b)
Ver solução completa7. Para as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
(c)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
g)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
j)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
k)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
l)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
d)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
e)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
f)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
h)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
i)
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de defini��ão. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
n)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(a)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(b)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(c)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(d)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(e)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(f)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(g)
Ver solução completa8. Esboce os gráficos das funções abaixo. Reconheça todos os gráficos, exceto um, como superfícies dadas por (ou contidas em) quadráticas, identificando-as:
(h)
Ver solução completa9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível para :
(a)
Ver solução completa9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível para :
(b)
Ver solução completa9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível para :
(c)
Ver solução completa9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível para :
(d)
Ver solução completa9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível para :
(f)
Ver solução completa12. (a) Encontre alguma função (especificando seu domínio, contradomínio e sua lei), que tenha a reta de equação como uma curva de nível.
Ver solução completa13. Se dá a temperatura num ponto sobre uma placa delgada de metal no plano-, , então as curvas de nível de são chamadas de curvas isotérmicas (todos os pontos sobre cada uma dessas curvas possuem a mesma temperatura). Suponha que uma placa ocupe o primeiro quadrante e .
(a) Esboce as curvas isotérmicas de temperaturas , e .
Ver solução completa13. Se dá a temperatura num ponto sobre uma placa delgada de metal no plano-, , então as curvas de nível de são chamadas de curvas isotérmicas (todos os pontos sobre cada uma dessas curvas possuem a mesma temperatura). Suponha que uma placa ocupe o primeiro quadrante e .
(b) Uma formiga, inicialmente no ponto , se move sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é essa trajetória, e qual é a temperatura correspondente?
Ver solução completa14. Os pontos de uma chapa plana de metal estão marcados no plano- de modo que a temperatura no ponto é inversamente proporcional à distância do ponto a origem.
(a) Qual é a lei que descreve a temperatura da chapa acima?
Ver solução completa14. Os pontos de uma chapa plana de metal estão marcados no plano- de modo que a temperatura no ponto é inversamente proporcional à distância do ponto a origem.
(b) Descreva as isotérmicas, isto é, as curvas de nível da função temperatura.
Ver solução completa14. Os pontos de uma chapa plana de metal estão marcados no plano- de modo que a temperatura no ponto é inversamente proporcional à distância do ponto a origem.
(c) Se a temperatura no ponto é de , ache a equação da isotérmica para uma temperatura de .
Ver solução completa17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.
(a)
Ver solução completa17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.
(b)
Ver solução completa17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.
(c)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(a)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(b)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(c)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(d)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(e)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(f)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(g)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(h)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(i)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(j)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(k)
Ver solução completa19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.
(l)
Ver solução completa(b) Verifique que satisfaz a equação de Laplace
sendo . (Uma função que satisfaz a equação de Laplace é chamada harmônica.)
Ver solução completaSe e são funções de classe e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
mostre que e são funções harmônicas.
Ver solução completaSeja , onde é uma constante real e e são constantes quaisquer de uma variável real e deriváveis até a segunda ordem. Mostre que satisfaz a equação da onda
Ver solução completaPara as funções cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:
m)
Ver solução completaSeja função diferenciável em toda reta. Seja onde é constante dada. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de e então mostre que satisfaz a equação de transporte .
Ver solução completaSeja , onde é diferenciável no plano e são deriváveis num intervalo
(b) Derive para os casos:
onde , .
Ver solução completaSeja , onde é diferenciável no plano e são deriváveis num intervalo
(b) Derive para os casos:
onde e .
Ver solução completaSe , onde , e são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para e . Aplique para cada caso abaixo:
b) onde e .
Ver solução completaSe , onde , e são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para e . Aplique para cada caso abaixo:
c) onde e .
Ver solução completaEm cada item calcule a derivada direcional de na direção de e no ponto :
a) , ,
Ver solução completa