Em cada item calcule a derivada direcional de f na direção de v e no ponto P :

a) f x ,   y = x y - x + y , v = ( 1 ,   1 ) , P = ( 1 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada direcional de f na direção do vetor v e no ponto P . Pra isso, vamos usar a fórmula da deriavada direcional:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

Isso significa que a derivada direcional da função f na direção do vetor v e no ponto P é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em P e o vetor unitário da direção do vetor v (esse v é o módulo do vetor v ).

Então, vamos calcular o módulo de v = ( x 0 ,   y 0 ) , fazendo:

v = x 0 2 + y 0 2

Calcular o gradiente de f , através das derivadas parciais da função:

∇ f = f x ,   f y = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y  

Aplicar o ponto P no resultado e substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo do vetor v = ( 1 ,   1 ) :

v = 1 2 + 1 2

v = 2

Então, vamos ter:

v v = ( 1 ,   1 ) 2

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente da função f x ,   y = x y - x + y através de suas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = y - 1

∂ f ∂ y = x + 1

Logo,

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = y - 1 ,   x + 1

Então, para P = ( 1 ,   1 ) , vamos ter:

∇ f 1 ,   1 = ( 1 - 1 ,   1 + 1 )

∇ f 1 ,   1 = ( 0 ,   2 )

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada direcional, temos:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

∂ f ∂ v 1 ,   1 = ∇ f 1 ,   1 ∙ ( 1 ,   1 ) 2

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 1 2   0 ,   2 ∙ ( 1 ,   1 )

Fazendo o produto escalar entre os vetores no colchete:

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 1 2   0 ∙ 1 + 2 ∙ 1

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 1 2   0 + 2

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 1 2   ( 2 )

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 2 2  

Multiplicando por 2   / 2   , para eliminar a raiz do denominador, temos:

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 2 2 2

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f ∂ v 1 ,   1 = 2

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