Se u ( x ,   y ) e v ( x ,   y ) são funções de classe C 2 e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y                         e                     ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

mostre que u e v são funções harmônicas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas funções u ( x ,   y ) e v ( x ,   y ) que são de classe C 2 , portanto deriváveis até a segunda ordem, e nos disse que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y                         e                     ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x

Nós precisamos mostrar que u e v são funções harmônicas. Mas o que são funções harmônicas mesmo? São funções que satisfazem a equação de Laplace ( Δ f = 0 ). Como Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 , precisamos que a soma das segundas derivadas parciais das funções u e v sejam iguais a zero. Ou seja:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivadas da função u ( x ,   y ) em relação a x :

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

Mas o enunciado nos disse que ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , então:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ v ∂ y

Agora usando a propriedade ∂ u ∂ y ∂ x = ∂ u ∂ x ∂ y , temos:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ y ∂ u ∂ x = ∂ 2 u ∂ y ∂ x

Que é equivalente a:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda derivada de u em relação a y :

∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ u ∂ y

Substituindo ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x e usando a propriedade ∂ v ∂ y ∂ x = ∂ v ∂ x ∂ y , temos:

∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ ∂ y - ∂ v ∂ x

∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y

Agora usando o fato de que ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ x ∂ y e ∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y , e usando as propriedades das derivadas mistas para funções de classe C 2 , temos que:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x + - ∂ 2 v ∂ x ∂ y = ∂ 2 v ∂ x ∂ y - ∂ 2 v ∂ x ∂ y = 0

Da mesma forma, chegamos ao resultado de ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 . Então, podemos dizer que nossas funções u ( x ,   y ) e v ( x ,   y ) são harmônicas, porque satisfazem a equação de Laplace.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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