Em cada item calcule a derivada direcional de f na direção de v e no ponto P :

c) f x ,   y ,   z = x - e y x 2 + y 4 + 1 , v = 2 ,   2 ,   0 , P = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada direcional de f na direção do vetor v e no ponto P . Pra isso, vamos usar a fórmula da deriavada direcional:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

Isso significa que a derivada direcional da função f na direção do vetor v e no ponto P é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em P e o vetor unitário da direção do vetor v (esse v é o módulo do vetor v ).

Então, vamos calcular o módulo de v = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , fazendo:

v = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2

Calcular o gradiente de f , através das derivadas parciais da função:

∇ f = f x ,   f y ,   f z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z  

Aplicar o ponto P no resultado e substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo do vetor v = 2 ,   2 ,   0 :

v = 2 2 + 2 2 + 0 2

v = 4 + 4 = 8

v = 2 2

Então, vamos ter:

v v = 2 ,   2 ,   0 2 2

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente da função f x ,   y ,   z = x - e y x 2 + y 4 + 1 através de suas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = - x 2 + 2 e y x + y 4 + 1 x 2 + y 4 + 4 2

∂ f ∂ y = - e y x 2 + y 4 + 1 - 4 y 3 ( x - e y ) x 2 + y 4 + 4 2

∂ f ∂ z = 0

Logo,

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = - x 2 + 2 e y x + y 4 + 1 x 2 + y 4 + 4 2 ,   - e y x 2 + y 4 + 1 - 4 y 3 ( x - e y ) x 2 + y 4 + 4 2 ,   0

Então, para P = ( 1 ,   1 ,   1 ) , vamos ter:

∇ f 1 ,   1 ,   1 = - 1 2 + 2 e 1 ∙ 1 + 1 4 + 1 1 2 + 1 4 + 4 2 ,   - e 1 1 2 + 1 4 + 1 - 4 ( 1 ) 3 ( 1 - e 1 ) 1 2 + 1 4 + 4 2 ,   0

∇ f 1 ,   1 ,   1 = 2 e + 1 36 , e - 4 36 ,   0

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada direcional, temos:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

∂ f ∂ v ( 1 ,   1 ,   1 ) = ∇ f ( 1 ,   1 ,   1 ) ∙ 2 ,   2 ,   0 2 2

∂ f ∂ v ( 1 ,   1 ,   1 ) = 1 2 2 2 e + 1 36 , e - 4 36 ,   0 ∙ 2 ,   2 ,   0

Fazendo o produto escalar entre os vetores no colchete:

∂ f ∂ v ( 1 ,   1 ,   1 ) = 1 2 2 2 e + 1 36 ∙ 2 + e - 4 36 ∙ 2 + 0 ∙ 0

∂ f ∂ v ( 1 ,   1 ,   1 ) = 1 2 2 2 e + 1 18 + e - 4 18 + 0

∂ f ∂ v 1 ,   1 ,   1 = 1 2 2 3 e - 3 18

∂ f ∂ v 1 ,   1 ,   1 = 1 12 2 e - 1

Multiplicando por 2   / 2 , para eliminar a raiz do denominador, temos:

∂ f ∂ v 1 ,   1 ,   1 = 2 24 e - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f ∂ v 1 ,   1 ,   1 = 2 24 e - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas