Em cada item calcule a derivada direcional de f na direção de v e no ponto P :

b) f x ,   y = ln ⁡ ( x 2 + y 4 + 4 ) , v = 1 5 ,   2 5 , P = ( 1 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada direcional de f na direção do vetor v e no ponto P . Pra isso, vamos usar a fórmula da deriavada direcional:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

Isso significa que a derivada direcional da função f na direção do vetor v e no ponto P é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em P e o vetor unitário da direção do vetor v (esse v é o módulo do vetor v ).

Então, vamos calcular o módulo de v = ( x 0 ,   y 0 ) , fazendo:

v = x 0 2 + y 0 2

Calcular o gradiente de f , através das derivadas parciais da função:

∇ f = f x ,   f y = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y  

Aplicar o ponto P no resultado e substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo do vetor v = 1 5 ,   2 5 :

v = 1 5 2 + 2 5 2

v = 1 5 + 20 = 101 5

Então, vamos ter:

v v = 1 5 ,   2 5 101 5

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente da função f x ,   y = ln ⁡ ( x 2 + y 4 + 4 ) através de suas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 4 + 4

∂ f ∂ y = 4 y 3 x 2 + y 4 + 4

Logo,

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 2 x x 2 + y 4 + 4 ,   4 y 3 x 2 + y 4 + 4

Então, para P = ( 1 ,   0 ) , vamos ter:

∇ f 1 ,   0 = 2 ∙ 1 1 2 + 0 4 + 4 ,   4 ∙ 0 3 1 2 + 0 4 + 4

∇ f 1 ,   0 = 2 5 ,   0

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada direcional, temos:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ∙ v v

∂ f ∂ v 1 ,   0 = ∇ f 1 ,   0 ∙ 1 5 ,   2 5 101 5

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 1 101 5 2 5 ,   0 ∙ 1 5 ,   2 5

Fazendo o produto escalar entre os vetores no colchete:

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 5 101 2 5 ∙ 1 5 + 0 ∙ 2 5

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 5 101 2 5 5 + 0

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 5 101 2 5 5

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 2 5 101  

Multiplicando por 101   / 101 , para eliminar a raiz do denominador, temos:

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 2 101 505

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f ∂ v 1 ,   0 = 2 101 505

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas