Mostre que u x ,   t = e - 25 t sin ⁡ 5 x é solução da Equação do calor u t = u x x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função u ( x ,   y ) satisfaz a Equação do calor. Isso quer dizer que a primeira derivada parcial da função u , em relação a t , precisa ser igual a segunda derivada parcial da função em relação de x .

Então, vamos calcular essas derivadas parciais e verificar se o resultado é igual.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

u x ,   t = e - 25 t sin ⁡ 5 x

Derivando parcialmente em relação a x , vamos ter:

∂ ∂ x u x ,   t = ∂ ∂ x [ e - 25 t sin ⁡ 5 x ]

Usando a regra da cadeia junto com a regra do produto na derivação:

∂ u ∂ x x ,   t = 5 e - 25 t cos ⁡ 5 x

Agora vamos derivar mais uma vez em relação a x para obter a segunda derivada parcial:

∂ 2 u ∂ x 2 x ,   t = - 25 e - 25 t sin ⁡ 5 x

Então, u x x = - 25 e - 25 t sin ⁡ 5 x .

Passo 3

Agora vamos derivar nossa função u ( x ,   t ) , parcialmente, em relaç��o a t :

∂ ∂ t u x ,   t = ∂ ∂ t [ e - 25 t sin ⁡ 5 x ]

Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

∂ u ∂ t x ,   t = - 25 e - 25 t sin ⁡ 5 x

Então, u t = - 25 e - 25 t sin ⁡ 5 x . Assim, de acordo com esse resultado e o resultado do passo 2 , vamos ter:

u t = u x x

E a função u ( x ,   t ) satisfaz a equação do calor, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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