Para cada x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) calcule ∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 ( x ,   y ) , ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x ( x ,   y ) e ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y ( x ,   y ) , onde f x ,   y = x 2 x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas de ordem superior que ele nos deu, que nesse caso são derivadas de terceira ordem.

Basicamente, o que nós vamos fazer é derivar as derivadas parciais. Olha só:

∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 x ,   y = ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2

Sacou? A mesma coisa para as outras, sempre seguindo a ordem em que as variáveis aparecem:

∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x ,   y = ∂ ∂ y ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ 2 ∂ y 2 ∂ f ∂ x

∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x ,   y = ∂ ∂ x ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ 2 ∂ x 2 ∂ f ∂ y

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = x 2 x 2 + y 2

Derivando ela parcialmente em relação a x , usando a regra do quociente, vamos obter:

∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2 - 2 x ( x 2 ) x 2 + y 2 2 = 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Agora vamos derivar esse resultado em relação a y duas vezes, para obter:

∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x ,   y = ∂ 2 ∂ y 2 ∂ f ∂ x

∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x ,   y = ∂ 2 ∂ y 2 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Usando a regra do quociente, temos:

∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x ,   y = 4 x ( 3 y 4 - 8 x y 2 + x 4 x 2 + y 2 4

Passo 3

Agora vamos derivar nossa função parcialmente em relação a y :

∂ f ∂ y = - 2 x 2 y x 2 + y 2 2

Derivando mais uma vez em relação a y , temos:

∂ 2 f ∂ y 2 = - 2 x 2 ( x 2 - 3 y 2 ) x 2 + y 2 3

Passo 4

Agora vamos pegar o resultado da primeira derivada parcial em relação a y , obtido no passo 3 , e derivar duas vezes em relação a x :

∂ ∂ x - 2 x 2 y x 2 + y 2 2 = - 4 x y ( y 2 - x 2 ) x 2 + y 2 3

∂ 2 ∂ x 2 - 2 x 2 y x 2 + y 2 2 = ∂ ∂ x - 4 x y ( y 2 - x 2 ) x 2 + y 2 3 = - 4 y ( 3 x 4 - 8 x 2 y 2 + y 4 ) x 2 + y 2 4

Assim, temos:

∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x ,   y = - 4 y ( 3 x 4 - 8 x 2 y 2 + y 4 ) x 2 + y 2 4

Passo 5

Por fim, vamos pegar o resultado da segunda derivada parcial em relação a y , que obtivemos lá no passo 3 , ∂ 2 f ∂ y 2 = - 2 x 2 ( x 2 - 3 y 2 ) x 2 + y 2 3 , e derivar mais uma vez em relação a x . Assim, teremos:

∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 x ,   y = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2

∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 x ,   y = ∂ ∂ x - 2 x 2 ( x 2 - 3 y 2 ) x 2 + y 2 3

Usando também a regra do quociente:

∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 x ,   y = - 4 x ( - x 4 + 8 x 2 y 2 - 3 y 4 ) x 2 + y 2 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x ,   y = 4 x ( 3 y 4 - 8 x y 2 + x 4 x 2 + y 2 4

∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x ,   y = - 4 y ( 3 x 4 - 8 x 2 y 2 + y 4 ) x 2 + y 2 4

∂ 3 f ∂ x ∂ y 2 x ,   y = - 4 x ( - x 4 + 8 x 2 y 2 - 3 y 4 ) x 2 + y 2 4

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