Mostre que U x ,   y = e - x cos ⁡ y + e - x sin ⁡ y satisfaz a chamada Equação de Laplace ∂ 2 U ∂ x 2 x ,   y + ∂ 2 U ∂ y 2 x ,   y = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função U ( x ,   y ) satisfaz a Equação de Laplace. Isso quer dizer que somando a segunda derivada parcial em relação a x com a segunda derivada parcial em relação de y , da função U , vamos ter zero como resultado.

Então, vamos calcular essas derivadas parciais e verificar se o resultado da soma delas é nulo.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

U x ,   y = e - x cos ⁡ y + e - x sin ⁡ y

Derivando ela parcialmente, primeiro em relação a x , vamos ter:

∂ ∂ x U x ,   y = ∂ ∂ x [ e - x cos ⁡ y ] + ∂ ∂ x [ e - x sin ⁡ y ]

Usando a regra do produto em cada termo:

∂ U ∂ x x ,   y = ( - e - x cos ⁡ y ) + e - x ∙ 0 + - e - x sin ⁡ y + ( e - x ∙ 0 )

Repare que quando derivamos cos ⁡ y e sin ⁡ y em relação a x , o resultado é zero, porque é como se y fosse uma constante aqui. Simplificando:

∂ U ∂ x x ,   y = - e - x cos ⁡ y - e - x sin ⁡ y

Da mesma forma, derivando mais uma vez em relação a x , vamos ter a segunda derivada parcial:

∂ 2 U ∂ x 2 x ,   y = e - x cos ⁡ y + e - x sin ⁡ y

Passo 3

Agora vamos derivar nossa função U ( x ,   y ) , parcialmente, em relação a y :

∂ ∂ y U x ,   y = ∂ ∂ y [ e - x cos ⁡ y ] + ∂ ∂ y [ e - x sin ⁡ y ]

Usando a regra do produto em cada termo:

∂ U ∂ y x ,   y = ( 0 ∙ cos ⁡ y ) + - e - x sin ⁡ y + 0 ∙ sin ⁡ y + ( e - x cos ⁡ y )

Repare que agora é como se x fosse uma constante na derivação. E simplificando, temos:

∂ U ∂ y x ,   y = - e - x s in ⁡ y + e - x co s ⁡ y

Da mesma forma, derivando mais uma vez em relação a y , vamos ter:

∂ 2 U ∂ x 2 x ,   y = - e - x cos ⁡ y - e - x sin ⁡ y

Passo 4

Somando os resultados dos passos 2 e 3 , temos:

∂ 2 U ∂ x 2 x ,   y + ∂ 2 U ∂ y 2 x ,   y = ( e - x cos ⁡ y + e - x sin ⁡ y ) + ( - e - x cos ⁡ y - e - x sin ⁡ y )

E simplificando os termos semelhantes:

∂ 2 U ∂ x 2 x ,   y + ∂ 2 U ∂ y 2 x ,   y = 0

Portanto, a função U ( x ,   y ) satisfaz a Equação de Laplace, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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