Seja f x ,   y = { x 3 y x 6 + y 2     s e   x ,   y ≠ 0 ,   0   0     s e   x ,   y = 0 ,   0   .

b) Calcule �� f ∂ v ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor unitário, v = ( α ,   β ) , e uma função definida por partes, que é f ( x ,   y ) . Nós queremos calcular a derivada parcial de f em relação a v , no ponto ( 0 ,   0 ) .

Pra isso, vamos utilizar a definição de derivada direcional no ponto ( x 0 ,   y 0 ) , que para um vetor unitário genérico u = ( a ,   b ) , é dada por:

D u f x 0 ,   y 0 = f x 0 + h a ,   y 0 + h b - f ( x 0 ,   y 0 ) h  

Então, vamos substituir x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   0 ) e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a definição vista no passo 1 , para o ponto ( 0 ,   0 ) , na direção do vetor v = ( α ,   β ) , vamos ter:

D v f 0 ,   0 = f 0 + h a ,   0 + h b - f ( 0 ,   0 ) h  

Para descobrir f 0 + h a ,   0 + h a , temos que fazer x = 0 + h a e y = 0 + h b em f x ,   y = x 3 y x 6 + y 2 . Além disso, de acordo com a definição da função, f 0 ,   0 = 0 . Assim, temos:

D v f 0 ,   0 = ( h 3 a 3 ) ( h b ) h 6 a 6 + h 2 b 2 - 0 h   = h 4 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2 h  

Fazendo a divisão de frações:

D v f 0 ,   0 = l i m h → 0 h 4 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2 ∙ 1 h = l i m h → 0 h 3 a 3 b h 6 a 6 + h 2 b 2

Dividindo todo mundo por h 2 :

D v f 0 ,   0 = l i m h → 0 h a 3 b h 4 a 6 + b 2

Daí, quando h → 0 , temos:

D v f 0 ,   0 = 0 ∙ a 3 b 0 4 a 6 + b 2 = 0 b 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D v f 0 ,   0 = 0

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas