Seja u x ,   t = f x - a t + g ( x + a t ) , onde a é uma constante real e f e g são constantes quaisquer de uma variável real e deriváveis até a segunda ordem. Mostre que u ( x ,   t ) satisfaz a equação da onda

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função u x ,   t = f x - a t + g ( x + a t ) satisfaz a equação da onda:

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Isso quer dizer que a segunda derivada da nossa função u em relação a t vai ser igual a segunda derivada dessa função em relação a x , multiplicada por uma constante a ao quadrado. Então, vamos derivar nossa função duas vezes em relação a cada variável e verificar se os resultados batem.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivada da função u ( x ,   t ) em relação a t :

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t

Derivando u x ,   t = f x - a t + g ( x + a t ) usando a regra da cadeia, temos:

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t f ' x - a t ∙ - a + g ' x + a t ∙ ( a )

Agora derivando mais uma vez em relação a t , também usando a regra da cadeia, vamos obter:

∂ 2 u ∂ t 2 = f ' ' x - a t ∙ - a ∙ - a + g ' ' x + a t ∙ a ∙ ( a )

∂ 2 u ∂ t 2 = f ' ' x - a t ∙ ( a 2 ) + g ' ' x + a t ∙ a 2

Colocando a 2 em evidência:

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 f ' ' x - a t + g ' ' x + a t

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda derivada de u em relação a x :

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

Derivando u x ,   t = f x - a t + g ( x + a t ) usando a regra da cadeia, em relação a x , temos:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x f ' x - a t ∙ 1 + g ' x + a t ∙ ( 1 )

Derivando mais uma vez:

∂ 2 u ∂ x 2 = f ' ' x - a t ∙ 1 2 + g ' ' x + a t ∙ ( 1 2 )

∂ 2 u ∂ x 2 = f ' ' x - a t + g ' ' x + a t

Multiplicando por a 2 dos dois lados:

a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = a 2 f ' ' x - a t + g ' ' x + a t

Repare que é o mesmo resultado que encontramos no passo 2 . Portanto,

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2

E nossa função satisfaz a equação da onda, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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