11. Ache a equação do conjunto de nível de f que passe pelo ponto P dado:

(c) f x , y = ∫ x y d t 1 + t 2 , P = - 2 , 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma função f e nosso objetivo é obter a equação da curva de nível de f no ponto P que foi dado no enunciado...

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para obter a equação da curva de nível de f que contém o ponto P , primeiro temos que encontrar o nível que este ponto está.

Pra isso fazemos f = c , onde c representa os níveis de f , depois aplicamos o ponto P na equação que acabamos de encontrar e verificamos o valor de c .

Com c obtido, voltamos para a primeira etapa e substituímos o valor de c .

Parece tranquilo? Bora começar! 😁

Passo 2

Nesse caso temos que f x , y = ∫ x y d t 1 + t 2 e P = - 2 , 2 .

Portanto primeiro vamos obter a função f a partir da integral...

f x , y = ∫ x y d t 1 + t 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

∫ 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ t

Aplicando os limites de integração.

∫ x y d t 1 + t 2 = arctan ⁡ y - arctan ⁡ x

Portanto, vemos que

f x , y = arctan ⁡ y - arctan ⁡ x

Fazendo f = c , temos

f x , y = arctan ⁡ y - arctan ⁡ x = c

Aplicando o ponto P na equação...

arctan ⁡ 2 - arctan ⁡ - 2 = c

c = 2 arctan ⁡ 2

Com c obtido, voltamos para a equação arctan ⁡ y - arctan ⁡ x = c e substituímos c

arctan ⁡ y - arctan ⁡ x = 2 arctan ⁡ 2

arctan ⁡ y = 2 arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ x

y = tan ⁡ 2 arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y = tan ⁡ 2 arctan ⁡ 2 + arctan ⁡ x