25 Encontre o vetor gradiente de cada uma das funções:

(a) f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter o vetor gradiente da função f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das suas derivadas parciais, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em função de x

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x

Nesse caso, f é uma função composta, então para o cálculo da sua derivada, temos que aplicar a regra da cadeia.

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x ∂ u ∂ u

∂ f ∂ x = 2 x 1 2 u

∂ f ∂ x = x u

Voltando u para x 2 + y 2 + z 2 ...

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Agora fazemos o mesmo para y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ∂ u ∂ u

∂ f ∂ y = 2 y 1 2 u

∂ f ∂ y = y u

Se u = x 2 + y 2 + z 2 , então

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Para z agora, temos

∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z ∂ u ∂ u

∂ f ∂ z = 2 z 1 2 u

∂ f ∂ z = z u

Substituindo u

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Substituindo ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z no vetor gradiente, chegamos em

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∇ f = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2

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