14. Os pontos de uma chapa plana de metal estão marcados no plano- x , y de modo que a temperatura T no ponto x , y é inversamente proporcional à distância do ponto a origem.

(c) Se a temperatura no ponto P = 4,3 é de 40 ° C , ache a equação da isotérmica para uma temperatura de 20 ° C .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Anteriormente nesse problema encontramos que a função T é dada por

T x , y = 1 x 2 + y 2

Sabendo que no ponto P = 4,3 a temperatura T 0 = 40 ° C qual é a curva cuja temperatura é T 1 = 20 ° C .

Lembra como fazemos isso? 😬

Para esboçar as curvas isotérmicas de uma função temperatura, vamos usar o mesmo método de esboço de curvas de níveis...

Vamos substituir T x , y por uma variavel T de temperatura e vamos atribuir valores para T que serão nossas temperaturas.

Com isso vamos obter equações bidimensionais e esboçando essas curvas no plano x y vamos obter as curvas isotérmicas...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Fazendo T x , y = T , temos

T x , y = 1 x 2 + y 2 = T

Fazendo x = 4 , y = 3 e T = T 0 ...

1 4 2 + 3 2 = T 0 → T 0 = 1 25

Como x 2 + y 2 = r 2 representa uma circunferência, então se isolarmos x 2 + y 2 em um lado da igualdade, vamos obter.

x 2 + y 2 = 1 T

Para esboçar a curva cuja temperatura é T 1 = 20 ° C temos que relacionar T 1 e T 0 ...

T 1 é metade do valor de T 0 , ou seja

T 1 = T 0 2

Como T 0 = 1 25 como calculamos anteriormente, vamos obter que

T 1 = 1 25 2 = 1 50

Substituindo T 1 na equação x 2 + y 2 = 1 T , temos

x 2 + y 2 = 1 T 1 = 1 1 50

x 2 + y 2 = 50

Esboçando essa curva no plano x y vamos obter uma circunferência de raio 50 ...

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

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