Utilize o critério da comparação para decidir se cada integral converge ou diverge.

c)

∫ 1 + ∞ x   d x 1 + x 4 + e - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma integral imprópria e nos pede para dizer se ela converge ou diverge através do critério da comparação.

Mas que critério é esse??

Bom... o critério da comparação trata-se de compararmos a função f ( x ) que está sendo integrada com uma função maior ou outra menor.

Mas qual o sentido disso??Exemplo 1: Se compararmos com uma maior e esta for convergente, então automaticamente a função f ( x ) também é convergente.

Exemplo 2: Se compararmos com uma menor e esta for divergente, então automaticamente a função f ( x ) também é divergente.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, seja:

f x = x   1 + x 4 + e - x

E

g x = x 1 + x 4

Fazendo a integração de g ( x ) , temos:

∫ 1 + ∞ x 1 + x 4 d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 a x 1 + x 4 d x

Fazendo u = x 2 e d u = 2 x   d x , então:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 a x 1 + x 4 d x = lim a → + ∞ ⁡ 1 2 ∫ 1 a 1 1 + u 2 d u ∴

= lim a → + ∞ ⁡ 1 2 a r c t g x 2 a 1 ∴

= 1 2 π 2 - π 4 ∴

= π 8

A integral g ( x ) converge.

Passo 3

Portanto, por comparação, percebe-se que g x > f ( x ) .

Assim, como g x converge, então f x também converge.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

c o n v e r g e

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