Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

4) Determine se a integral

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x  

É convergente ou divergente

Passo 1

Eita, que integral assustadora! Sério, olha pra isso:

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x  

Bom, ela pode até ser assustadora, mas dá uma olhada nessa propriedade do cosseno:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Veja bem, a função é delimitada por valores que vão de - 1 até 1 . Como na nossa integral temos cos 2 ⁡ x , todo valor negativo vira positivo quando elevado ao quadrado. Ou seja:

0 ≤ cos 2 ⁡ x ≤ 1

Ok, mas e daí? Bem, olha só a função que ta dentro da integral:

x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2

Se olharmos bem, vemos que a função cos 2 ⁡ x está multiplicando a outra função, que seria x x 2 + 1 2 .

Agora pensa aqui comigo: se eu multiplico algo por um número entre 0 e 1 , obtenho um número menor do que o original! O mesmo vale pras funções, já que sabemos que cos 2 ⁡ x está entre 0 e 1 . Resumindo a ópera, vamos ter:

x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 ≤ x x 2 + 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas fomos parar numa inequação. Cadê a integral? Bem, vamos primeiro pegar a função mais simples da inequação, que é a sem função trigonométrica:

x x 2 + 1 2

Já que estamos todos com saudades de integrar, vamos trazer então a integral de volta. Integrando com os mesmos limites de integração vamos ter:

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 2 d x  

Como limite de integração infinito não existe, vamos reescrever esse carinah aí pra:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a x x 2 + 1 2 d x  

E agora sim vamos resolver essa integral. Fazendo a substituição simples:

u = x 2 + 1 → x = 0   ; u = 1 x = a   ; u = a 2 + 1

d u d x = 2 x → d x = d u 2 x

Vamos ter:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 a 2 + 1 x u 2 d u 2 x  

1 2 lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 a 2 + 1 d u u 2  

1 2 lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 a 2 + 1 u - 2   d u  

Né que a substituição simplificou as coisas. Resolvendo essa integral vamos ter:

1 2 lim a → + ∞ ⁡ u - 1 - 1 u = 1 u = a 2 + 1 = 1 2 lim a → + ∞ ⁡ - 1 u u = 1 u = a 2 + 1 =

= 1 2 lim a → + ∞ ⁡ - 1 a 2 + 1 + 1 1 = 1 2 lim a → + ∞ ⁡ 1 - 1 a 2 + 1

Realizando o limite a → + ∞ , ficamos com:

1 2 lim a → + ∞ ⁡ 1 - 1 a 2 + 1 = 1 2 1 - 0 = 1 2

Ou seja, a integral vai ter o seguinte valor:

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 2 d x   = 1 2

Passo 3

Vamos juntar então o que achamos nos passos anteriores:

x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 ≤ x x 2 + 1 2

∫ 0 ∞ x x 2 + 1 2 d x   = 1 2

Saca só. Se a integral da função sem o termo cos 2 ⁡ x de fato converge e nos dá um número, e a função com o termo cos 2 ⁡ x é sempre menor ou igual a outra, se fizéssemos:

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x  

Acharíamos uma área exatamente igual à 1 2 quando:

x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 = x x 2 + 1 2

E uma área sempre menor que 1 2 quando

x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 < x x 2 + 1 2

Sendo assim, resumimos a integral do enunciado para:

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x   ≤ 1 2

O que significa que a integral, de fato, converge! E é isso aí, esse exercício te ajudou? Respooooooondeaíííí.

Resposta

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x   ≤ 1 2

∫ 0 ∞ x cos 2 ⁡ x x 2 + 1 2 d x     c o n v e r g e

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