Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

O exercício nos pede para resolver a integral imprópria

∫ 1 ∞ 2 + sen ⁡ x x   d x

Mas como só precisamos avaliar a convergência, podemos fazer isso por comparação. Nos foi recomendado usar 1 x .  

Já que nossos limites estão sempre na condição x ≥ 1 . Sempre teremos

2 + sen ⁡ x x ≥ 1 x ≥ 0

Então se aplicarmos a integral

∫ 1 ∞ 2 + sen ⁡ x x d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 x   d x ≥ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então podemos analisar a convergência observando a integral

∫ 1 ∞ 1 x   d x

Para isso podemos aplicar o limite com a → ∞ .

∫ 1 ∞ 1 x   d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x   d x

Para resolver o limite basta integrarmos normalmente

∫ 1 a 1 x   d x = ln ⁡ x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 x   d x = ln ⁡ a - ln ⁡ 1

∫ 1 a 1 x   d x = ln ⁡ a

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 x   d x = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ a = ∞

Passo 3

Se sabemos que

∫ 1 ∞ 2 + sen ⁡ x x d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 x   d x ≥ 0

E

∫ 1 ∞ 1 x   d x = ∞

Ou seja, diverge. Então nossa integral é divergente.

Resposta

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