Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que um dos limites de integração é infinito.

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ 1 ∞ ln ⁡ x   x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x   x d x ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso vamos utilizar a substituição

u = ln ⁡ x

d u = 1 x   d x

∫ 1 b ln ⁡ x   x d x = ∫ 1 b u   d u

= u 2 2 1 b

Desfazendo a substituição

∫ 1 b ln ⁡ x   x d x = ln 2 ⁡ x 2 1 b

Aplicando os limites de integração

∫ 1 b ln ⁡ x   x d x = ln 2 ⁡ b 2 - ln 2 ⁡ 1 2

Passo 4

Aplicando o limite

∫ 1 ∞ ln ⁡ x   x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x   x d x ⁡

∫ 1 ∞ ln ⁡ x   x d x = lim b → ∞ ⁡ ln 2 ⁡ b 2 - ln 2 ⁡ 1 2 ⁡

∫ 1 ∞ ln ⁡ x  x dx = ⁡ lim b → ∞ ⁡ ln 2 ⁡ b 2 - ln 2 ⁡ 1 2 = ∞

O limite resultou em , logo a integral diverge.

Resposta

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