Avalie as integrais:

a)

∫ s e n ln ⁡ x x   d x

b)

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x

c)

∫ sec ⁡ x   d x

d)

∫ x 4 + x + 1 x 3 - x   d x

e)

∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x

f)

∫ cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x   d x

g)

∫ 4 ∞ e - x / 2   d x

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver umas integrais 😊

No item (a), temos uma integral que sai rapidinho por substituição. Basta fazer t = ln ⁡ x , de modo que

d t = 1 x   d x

Assim,

∫ s e n ln ⁡ x x   d x = ∫ s e n   t   d t = - cos ⁡ t + C

Daí, é só voltar para variável original usando t = ln ⁡ x :

∫ s e n ln ⁡ x x   d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Passo 2

Já no item (b), temos a seguinte integral:

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x

Antes de fazê-la, vamos dar uma fatorada no termo dentro da raiz:

9 x 2 + 6 x - 8 = 3 x 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 x + 1 2 - 9

Observe que os três primeiros termos podem ser juntados:

9 x 2 + 6 x - 8 = 3 x + 1 2 - 9

Logo,

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = ∫ 1 3 x + 1 2 - 9   d x

Vamos fazer algumas mudanças de variável. A primeira é

y = 3 x + 1 → d x = d y 3

Com isso,

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = 1 3 ∫ 1 y 2 - 9   d y

Legal, agora temos uma expressão um pouquinho mais limpa! A próxima etapa é fazer uma substituição trigonométrica:

y = 3 sec ⁡ θ → d y = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ

y 2 - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = 9 sec 2 ⁡ θ - 1 = 9 tan 2 ⁡ θ

Portanto,

y 2 - 9 = 3 tan ⁡ θ

Desta forma, a integral fica:

1 3 ∫ 1 y 2 - 9   d y = 1 3 ∫ 1 3 tan ⁡ θ ⋅ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ = 1 3 ∫ sec ⁡ θ   d θ

Agora a gente precisa fazer a integral da secante. Repare que é exatamente isso que ele pede no item (c). Assim, vamos interromper a resolução do item (b) e voltamos a ela no passo 4.

Passo 3

Como dito no fim do passo 2, vamos dar uma pausa na resolução do item (b) e ver com bastante calma o item (c):

∫ sec ⁡ x   d x

Para fazer essa integral multiplicamos e dividimos por sec ⁡ x + tan ⁡ x :

∫ sec ⁡ x   d x = ∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x   d x

Agora chamamos o denominador de u = sec ⁡ x + tan ⁡ x e percebemos que

d u = sec ⁡ x + tan ⁡ x '   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x   d x

Repare que esse é precisamente o numerador, de modo que

∫ sec ⁡ x   d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + C

Voltando na variável original:

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Passo 4

Agora que sabemos a integral da secante, vamos voltar ao item (b). No passo 2 vimos que

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = 1 3 ∫ 1 y 2 - 9   d y = 1 3 ∫ sec ⁡ θ   d θ ,

onde y = 3 x + 1 e y = 3 sec ⁡ θ . Já que sabemos a integral da secante, temos que

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = 1 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Todavia, precisamos voltar para a variável original. É fácil perceber que

sec ⁡ θ = y 3

Como tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 , temos que

tan 2 ⁡ θ = y 2 9 - 1 = y 2 - 9 9 = 9 x 2 + 6 x - 8 9

Portanto,

sec ⁡ θ = 3 x + 1 3           e         tan ⁡ θ = 9 x 2 + 6 x - 8 3

Assim,

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = 1 3 ln ⁡ 3 x + 1 3 + 9 x 2 + 6 x - 8 3 + C

Passo 5

Depois dessa volta maluca, vamos para o item (d):

∫ x 4 + x + 1 x 3 - x   d x

Eu sei que você já deve estar pensando em frações parciais. Mas repare que o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Desta forma, precisamos fazer a divisão de polinômios:

Com isso, podemos escrever:

x 4 + x + 1 = x x 3 - x + x 2 + x + 1

Assim, temos que

x 4 + x + 1 x 3 - x = x + x 2 + x + 1 x 3 - x

Vamos olhar com atenção para o segundo termo:

x 2 + x + 1 x 3 - x = x 2 + x + 1 x x 2 - 1 = x 2 + x + 1 x x - 1 x + 1

Agora partimos para frações parciais:

x 2 + x + 1 x x - 1 x + 1 = A x + B x - 1 + C x + 1 = A x - 1 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 1 x x - 1 x + 1

x 2 + x + 1 x x - 1 x + 1 = A + B + C x 2 + B - C x - A x x - 1 x + 1

Comparando termo a termo, construímos o sistema:

A + B + C = 1 B - C = 1 - A = 1

Daí, tiramos A = - 1 , de modo que

B + C = 2 B - C = 1

Somando as equações:

2 B = 3 → B = 3 2 → C = 2 - 3 2 = 1 2

Com isso,

x 2 + x + 1 x x - 1 x + 1 = - 1 x + 3 2 ⋅ 1 x - 1 + 1 2 ⋅ 1 x + 1

Logo,

x 4 + x + 1 x 3 - x = x - 1 x + 3 2 ⋅ 1 x - 1 + 1 2 ⋅ 1 x + 1

Desta forma, quebramos o problema em 4 integrais:

∫ x 4 + x + 1 x 3 - x   d x = ∫ x   d x - ∫ d x x + 3 2 ∫ d x x - 1 + 1 2 ∫ d x x + 1

Agora é só integrar e problema resolvido:

∫ x 4 + x + 1 x 3 - x   d x = x 2 2 - ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

Passo 6

Ufa, já foi mais da metade! Bora pro item (e):

∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x

Essa integral é resolvida usando integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos chamar u = e - x e d v = cos ⁡ 2 x   d x , de modo que

d u = - e - x   d x           e           v = 1 2 s e n   2 x

Logo,

I = ∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x = 1 2 e - x   s e n   2 x + 1 2 ∫ e - x   s e n   2 x   d x

Para essa integral do lado direito, aplicamos partes novamente com u = e - x e d v = s e n   2 x . Assim,

d u = - e - x   d x           e           v = - 1 2 cos ⁡ 2 x

Com isso,

∫ e - x   s e n   2 x   d x = - 1 2 e - x cos ⁡ 2 x - 1 2 ∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x

Mas essa nova integral é exatamente a integral que procuramos e estou chamando de I :

∫ e - x   s e n   2 x   d x = - 1 2 e - x cos ⁡ 2 x - 1 2 I

Voltando para a relação de antes:

I = 1 2 e - x   s e n   2 x + 1 2 - 1 2 e - x cos ⁡ 2 x - 1 2 I

Com isso, passando todos os termos com I para o mesmo lado:

I + 1 4 I = 1 2 e - x   s e n   2 x - 1 4 e - x cos ⁡ 2 x

5 I 4 = 1 2 e - x s e n   2 x - 1 2 cos ⁡ 2 x

Portanto,

I = 2 5 e - x s e n   2 x - 1 2 cos ⁡ 2 x

Aí é só adicionar a constante e pronto:

∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x = 2 5 e - x s e n   2 x - 1 2 cos ⁡ 2 x + C

Passo 7

Faltam apenas duas! No item (f), a integral é

∫ cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x   d x

Você pode tentar fazer essa integral usando relações trigonométricas, dá bastante trabalho, mas sai. Eu gosto de fazer de um jeito diferente usando a fórmula de Euler:

e i θ = cos ⁡ θ + i   s e n   θ

O i é o número imaginário mesmo. Repare que

e - i θ = cos ⁡ θ - i   s e n   θ

Com isso, podemos escrever

cos ⁡ θ = e i θ + e - i θ 2             e           s e n   θ = e i θ + e - i θ 2 i

Portanto,

cos 2 ⁡ 7 x = e 7 i x + e - 7 i x 2 2 = e 14 i x + e - 14 i x + 2 4

s e n   x = e i x - e - i x 2 i

Portanto,

cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x = 1 8 i e 14 i x + e - 14 i x + 2 e i x - e - i x

Agora a gente faz a distributiva:

cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x = 1 8 i e 15 i x - e 13 i x + e - 13 i x - e - 15 i x + 2 e i x - e - i x

cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x = 1 4 e 15 i x - e - 15 i x 2 i - e 13 i x - e - 13 i x 2 i + 2 e i x - e - i x 2 i

Repare que os termos são exatamente do tipo s e n   θ , de modo que

cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x = 1 4 s e n   15 x - s e n   13 x + 2   s e n   x

Viu que legal? Usando a fórmula de Euler nós conseguimos escrever o integrando como uma soma de senos, aí fica fácil integrar:

∫ cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x   d x = 1 4 ∫ s e n   15 x   d x - 1 4 ∫ s e n   13 x   d x + 1 2 ∫ s e n   x   d x

Fazendo as integrais:

∫ cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x   d x = - 1 60 cos ⁡ 15   x + 1 52 cos ⁡ 13 x - 1 2 cos ⁡ x + C

Passo 8

Falta só o item (g) e fechamos o problema! Queremos calcular a integral imprópria

∫ 4 ∞ e - x / 2   d x

Para isso, lembre-se que essas integrais são limites do tipo:

∫ 4 ∞ e - x / 2   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 4 t e - x / 2   d x

Desta forma, nosso foca deve ser calcular

∫ 4 t e - x / 2   d x = - 2 e - x 2 4 t = - 2 e - t 2 + 2 e - 2

Portanto,

∫ 4 ∞ e - x 2   d x = lim t → ∞ ⁡ - 2 e - t 2 + 2 e - 2

Quando t → ∞ , e - t / 2 → 0 , de modo que esse limite existe:

∫ 4 ∞ e - x 2   d x = 0 + 2 e - 2

Portanto,

∫ 4 ∞ e - x 2   d x = 2 e 2

Aleluia terminamos 😉!

Resposta

∫ s e n ln ⁡ x x   d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

∫ 1 9 x 2 + 6 x - 8   d x = 1 3 ln ⁡ 3 x + 1 3 + 9 x 2 + 6 x - 8 3 + C

∫ x 4 + x + 1 x 3 - x   d x = x 2 2 - ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

∫ e - x cos ⁡ 2 x   d x = 2 5 e - x s e n   2 x - 1 2 cos ⁡ 2 x + C

∫ cos 2 ⁡ 7 x   s e n   x   d x = - 1 60 cos ⁡ 15   x + 1 52 cos ⁡ 13 x - 1 2 cos ⁡ x + C

∫ 4 ∞ e - x 2   d x = 2 e 2

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