Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Temos uma integral imprópria já que um dos limites de integração é infinito.

Para saber se a integral converge ou diverge precisamos aplicar o limite da integral e ver se dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor tipo ± ∞ , a integral é divergente.

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Passo 2

Quando temos uma integral imprópria desse tipo, precisamos fazer

∫ - ∞ 0 d x x - 8 2 / 3 = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x x - 8 2 / 3 ⁡

Passo 3

Agora vamos resolver a integral normalmente. Para isso, vamos utilizar a substituição

u = x - 8

d u = d x

∫ a 0 d x x - 8 2 / 3 = ∫ d u u 2 / 3

Então nossa integral fica

= u 1 3 1 3 a 0

Desfazendo a substituição ficamos com

∫ a 0 d x x - 8 2 / 3 = 3 x - 8 1 / 3 a 0

Aplicando os limites de integração

= 3 0 - 8 1 3 - 3 ( a - 8 ) 1 3

Passo 4

Aplicando o limite

�� - ∞ 0 d x x - 8 2 / 3 = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 d x x - 8 2 / 3 ⁡ ⁡

∫ - ∞ 0 d x x - 8 2 / 3 = lim a → - ∞ ⁡ ( 3 0 - 8 1 3 - 3 ( a - 8 ) 1 3 )   ⁡

= ∞

O limite resultou em , logo a integral diverge.

Resposta

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