Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Nesse exercício, temos que determinar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ 1 x 3 + 1 3 d x

Para isso, o enunciado recomenda que façamos a comparação com

1 2 x 3 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá! Nossos limites estão entre 1 e . Então

x ≥ 1 > 0

Para esses valores de x sempre teremos

1 x 3 + 1 3 ≥ 1 2 x 3 3 > 0

Se aplicarmos a integral nessa expressão

∫ 1 ∞ 1 x 3 + 1 3 d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x > 0

Passo 3

Vamos analisar então a convergência de

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x

Para isso, precisamos aplicar o limite

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x

E resolver normalmente a integral

∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x

∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x = 1 2 3 ∫ 1 a d x x

= 1 2 3 ln ⁡ x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x = 1 2 3 ln ⁡ a - 1 2 3 ln ⁡ 1

∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x = 1 2 3 ln ⁡ a

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 2 x 3 3 d x

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x = lim a → ∞ ⁡ 1 2 3 ln ⁡ a

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x = ∞

Passo 4

Mas lá no passo 2 tínhamos chegado à conclusão de que

∫ 1 ∞ 1 x 3 + 1 3 d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x > 0

E isso não é possível se

∫ 1 ∞ 1 2 x 3 3 d x = ∞

Logo, a integral diverge.

Resposta

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