Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

O exercício nos pede para resolver a integral imprópria

∫ 1 ∞ sen ⁡ x x 2   d x

Ela dá muito trabalho pra resolver, então vamos tentar observar a convergência por comparação.

Para qualquer valor de x , sabemos que

0 ≤ sen ⁡ x x 2 ≤ 1 x 2

Então se aplicarmos a integral

0 ≤ ∫ 1 ∞ sen ⁡ x x 2 d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 x 2   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então podemos analisar a convergência observando a integral

∫ 1 ∞ 1 x 2   d x

Para isso podemos aplicar o limite com a → ∞ .

∫ 1 ∞ 1 x 2   d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x 2   d x

Para resolver o limite basta integrarmos normalmente

∫ 1 a 1 x 2   d x = - 1 x 1 a

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 x 2   d x = - 1 x a + 1

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 e x   d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 x a + 1 = 1

Passo 3

Já que

0 ≤ ∫ 1 ∞ sen ⁡ x x 2 d x ≤ ∫ 1 ∞ 1 x 2   d x

E

∫ 1 ∞ 1 x 2   d x = 1

Ou seja, converge. Então nossa integral é convergente!

Resposta

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