Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Calcule a integral:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Vamos primeiro transformar esse intervalo num limite, para facilitar tudo:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x 2 d x

Vamos nos concentrar agora na integral e aplicar o limite depois de resolvê-la.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a integral, podemos fazer a substituição u = ln ⁡ x , ficando com:

u = ln ⁡ x d u = 1 x d x u m i n = ln ⁡ 2 ,       u m a x = ln ⁡ a

Ficando:

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x 2 d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 u 2 d u = - u - 1 2 a = 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ a  

Passo 3

Uma vez calculada a integral, voltamos ao limite:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ a = 1 ln ⁡ 2 - l i m a → ∞ 1 ln ⁡ a = 1 ln ⁡ 2  

Onde:

l i m a → ∞ 1 ln ⁡ a = 0

Pois ln ⁡ a tende a infinito quando a tende a infinito e teremos 1 divido por um número cada vez maior que levará a fração a tender a zero.

Resposta

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = 1 ln ⁡ 2  

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