Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Calcule a seguinte integral imprópria

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é ficar de olho num conceito importante sobre integrais:

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x

Eta, pera lá. Limite de integração infinito? Não rola né? Mas e se escrevêssemos assim:

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x

Agora sim temos uma integral que dá pra calcular. Então vamos fazer o seguinte: primeiro integramos indefinidamente, depois aplicamos os limites de integração e depois aplicamos o limite a → + ∞ , belê?

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Passo 2

Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:

e - x

cos ⁡ x

Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, ok? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Vamos ter que escolher primeiro f e d g . Se fizermos:

f = cos ⁡ x → d f d x = - sin ⁡ x → d f = - sin ⁡ x   d x

d g = e - x d x → g = - e - x

Substituimos então na fórmula da integração por partes:

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sin ⁡ x   d x

Ok, mas e agora? Não ajudou em nada! Calma gafanhoto, pode até não ter dado certo, mas ainda. Porque veja bem, se pegarmos a integral:

∫ e - x sin ⁡ x   d x

E fizermos integração por partes de novo, a integral original:

∫ e - x cos ⁡ x   d x

Vai reaparecer. Quer ver? Seja:

f = sin ⁡ x → d f d x = cos ⁡ x → d f = cos ⁡ x   d x

d g = e - x d x → g = - e - x

Na fórmula da integração por partes, vamos ter:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x +   ∫ e - x cos ⁡ x   d x

Então juntando os dois resultados:

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sin ⁡ x   d x

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x +   ∫ e - x cos ⁡ x   d x

Vamos ter:

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x - - e - x sin ⁡ x +   ∫ e - x cos ⁡ x   d x

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x + e - x sin ⁡ x - ∫ e - x cos ⁡ x   d x

2 ∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x + e - x sin ⁡ x

∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 3

Show de bola, agora que terminamos de calcular a integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração. Vamos ter:

∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = e - x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x x = 0 x = a

∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = e - a 2 sin ⁡ a - cos ⁡ a - e - 0 2 sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0

∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a - 1 2 - 1

∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + 1 2

Agora é só aplicar o limite a → + ∞

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + 1 2

lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + 1 2 = lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + lim a → + ∞ ⁡ 1 2

O segundo limite sai direto:

lim a → + ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

Já o primeiro, vamos olhar com calma:

lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a

Veja que, como sin ⁡ a e cos ⁡ a são funções cíclicas, não há um limite pra a → + ∞ . Mas se a gente olhar bem, isso não vai importar muito porque por mais que seja impossível de saber que número sin ⁡ a - cos ⁡ a dá quando a → + ∞ , nesse limite, 2 e a → ∞ , e logo, vamos ter um número dividido por outro infinitamente grande. Sendo asism:

lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a = 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo que vimos:

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x

∫ e - x cos ⁡ x   d x = e - x 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x

∫ 0 a e - x cos ⁡ x   d x = sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + 1 2

lim a → + ∞ ⁡ sin ⁡ a - cos ⁡ a 2 e a + 1 2 = 1 2

Sendo assim:

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x = 1 2

Resposta

∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ x   d x = 1 2

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