Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata – 37

Calcule a integral imprópria:

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2 d x

Passo 1

Aqui temos o caso com limites de integração infinitos. Bom, para resolver isso é necessário calcular a primitiva e analisar os infinitos como limites de variáveis novas. Aqui eu vou calcular por substituição simples essa primitiva:

u = - x 2 → d u = - 2 x d x

∫ x e - x 2 d x = ∫ - e u 2 d u = - e u 2 = - e - x 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tendo isso, vamos agora para o teorema fundamental do Cálculo. Vamos fazer

∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ - ∞ c f x d x +   ∫ c ∞ f x d x

∫ - ∞ ∞ x e - x 2 d x = ∫ - ∞ c x e - x 2 d x +   ∫ c ∞ x e - x 2 d x

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente. Para a primeira integral

∫ - ∞ c x e - x 2 d x = lim b → - ∞ ⁡ ∫ b c x e - x 2 d x

∫ b c x e - x 2 d x = - e - c 2 2 + e - b 2 2

Agora vamos calcular o limite

l i m b → - ∞ - e - c 2 2 + e - b 2 2 = - e - c 2 2

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda integral.

∫ c ∞ x e - x 2 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ c b x e - x 2 d x

∫ c b x e - x 2 d x = - e - b 2 2 + e - c 2 2

Agora vamos calcular o limite

l i m b → ∞ - e - b 2 2 + e - c 2 2 = e - c 2 2

Passo 5

Agora precisamos juntar os dois resultados!

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2 d x = - e - c 2 2 + e - c 2 2 = 0

Resposta

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2 d x = 0

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