Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integração por Substituição Simples

a Discuta a convergência ou divergência da integral imprópria

∫ 5 ∞ 1 x - 1 7 2 d x

Passo 1

Vamos calcular essa integral, se chegarmos a um resultado, ótimo. Caso ela exploda para + ∞ ou - ∞ , sabemos que ela não converge.

Para resolver essa integral podemos pensar em substituir o termo do denominador por uma variável auxiliar u , não esquecendo que devemos mudar os limites de integração também:

u = x - 1 → d u = d x

u i n f = x i n f - 1 = 5 - 1 = 4

u s u p = x s u p - 1 = ∞ - 1 = ∞

Assim, a integral fica:

∫ 5 ∞ 1 x - 1 7 2 d x = ∫ 4 ∞ u - 7 2 d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, como a integral é imprópria, aplicamos os limites substituindo o superior por uma variável auxiliar e dizendo que ela tende a + ∞ :

∫ 4 ∞ u - 7 2 d u = lim a → ∞ ⁡ u - 5 2 - 5 2 [ a 4

= lim a → ∞ ⁡ - 2 a - 5 2 5 + 2 4 - 5 2 5 = 2 5 lim a → ∞ ⁡ 1 2 5 - 1 a 5 2

= 2 5 1 2 5

= 1 80

A integral convergiu!

Resposta

A   i n t e g r a l   c o n v e r g e .

∫ 5 ∞ 1 x - 1 7 2 d x = 1 80

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