Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias-Limites Sendo Infinito

Passo 1

Precisamos determinar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ e - x ln ⁡ x   d x

Pra que fique mais fácil identificar se essa integral converge podemos utilizar o método da comparação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já que neste caso x ≥ 1 . Temos

0 ≤ e - x ln ⁡ x ≤ e - x x

Então, se aplicarmos a integral

0 ≤ ∫ 1 ∞ e - x ln ⁡ x   d x ≤ ∫ 1 ∞ e - x x   d x

Passo 3

Sabemos que para resolver uma integral imprópria basta aplicar o limite com a → ∞

∫ 1 ∞ e - x x   d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a e - x x   d x

E agora resolvemos normalmente a integral

∫ 1 a e - x x   d x

Para isso podemos utilizar o método da integração por partes. Lembrando la do macete do LIATE, sabemos que:

u = x

v ' = e - x

e

d u = d x

v = - e - x

Aplicando na integral por partes

∫ 1 a e - x d x =   - x e - x - ∫ e - x d x 1 a

∫ 1 a e - x x   d x = - x e - x - e - x 1 a

∫ 1 a e - x x   d x = - 1 e x ( x + 1 ) 1 a

E aplicando os limites ficamos com

∫ 1 a e - x x   d x = - 1 e a a + 1 + 1 e ( 1 + 1 )

∫ 1 a e - x x   d x = - 1 e a a + 1 + 2 e

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ e - x x   d x = lim a → ∞ ⁡ - 1 e a a + 1 + 2 e

Ficamos com

∫ 1 ∞ e - x x   d x = 2 e

Passo 4

Bom, se

0 ≤ ∫ 1 ∞ e - x ln ⁡ x   d x ≤ ∫ 1 ∞ e - x x   d x

E

∫ 1 ∞ e - x x   d x = 2 e

Ou seja, converge. Então nossa integral converge!

Resposta

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