Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integrais Impróprias

Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes:

a   ∫ 2 π ∞ sen ⁡ x   d x

Passo 1

Nesse caso, me aprece que o mais prático é calcular a integral logo, já que ela não é muito complexa, e depois definir se é convergente ou não:

∫ 2 π ∞ sen ⁡ x   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 π b sen ⁡ x   d x

= lim b → ∞ ⁡ - cos ⁡ x [ b 2 π

= lim b → ∞ ⁡ - cos ⁡ b + cos ⁡ ( 2 π )

= lim b → ∞ ⁡ - cos ⁡ b + 1

Bom, não sabemos como ficaria o cossenos quando b está indo para , porém sabemos que ele está limitado entre ± 1 , pela definição do cosseno.

lim b → ∞ ⁡ - 1 + 1 ≤ lim b → ∞ ⁡ - cos ⁡ b + 1 ≤ lim b → ∞ ⁡ - ( - 1 ) + 1

0 ≤ lim b → ∞ ⁡ - cos ⁡ b + 1 ≤ 2

Não conseguiríamos definir exatamente qual valor teria a integral exatamente. Assim, dizemos que ela diverge.

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Resposta

  ∫ 2 π ∞ sen ⁡ x   d x   d i v e r g e

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