Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

Integrais Impróprias

Resolva a integral:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Primeira coisa a se observar é que essa é uma integral imprópria!! Então devemos escrever que:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E pra resolver a integral indefinida:

∫ ln ⁡ x x d x

Usamos a substituição simples u = ln ⁡ x . Então:

d u = d x x

E substituindo na expressão que temos que integrar:

∫ u   d u = u 2 2 + C

∫ ln ⁡ x x d x = ln ⁡ x 2 2 + C

Passo 3

Portanto, depois desses cálculos podemos voltar pra integral imprópria e calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t 2 2 - ln ⁡ 1 2 2 = ∞

Logo, a integral diverge!

Resposta

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x d x = ∞ ,   a   i n t e g r a l   d i v e r g e ‼

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