Calcule as integrais impróprias abaixo:

b ) ∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2

Passo 1

Gostaria de te fazer uma pergunta, você sabe o que é o infinito? Sabe contar até o infinito?

Complicado né, bem amiguinho o conceito de integral impropria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos, isso aí o conceito dessa integral é uma espécie de soma, chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:

∫ 0 ∞ f x d x

Você está somando pedacinhos da primitiva dá f ( x ) de 0 até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...

Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A f x d x

Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.

Só que se você comparar a nossa integral vai de infinito negativo até o infinito positivo, bem mais complicado né? Aqui precisamos de um outro conceito, que é o conceito de função par. Para a função ser par precisamos que a função tenha a seguinte característica:

f - x = f x

Analisando a nossa função temos que:

f - x = 1 1 + - x 2 = 1 1 + x 2 = f ( x )

Ou seja, a nossa função é par. Na pratica o que isso faz né? Olha só o valor da função é a mesma independente se o x é positivo ou negativo, sabe uma função igual? A função quadrática, olha só o gráfico dela:

O lado esquerdo do gráfico é igual ao lado direito do gráfico, então se o intervalo de integração for simétrico, podemos escrever a integral dessa função da seguinte forma:

∫ a b f x = 2 ∫ 0 b f x d x = 2 ∫ a 0 f x d x

Então podemos calcular a nossa integral da seguinte forma:

∫ - ∞ ∞ f x d x = lim A →  ∞ ⁡ ∫ - A A f x d x = 2   lim A →  ∞ ⁡ ∫ 0 A f x d x

Passo 2

Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:

∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2

E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:

2 lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 d x

Agora precisamos lembrar da seguinte primitiva:

∫ d x 1 + x 2 = a r c o t a n g e n t e x + C

Logo a nossa integral ficaria:

2 lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 d x = 2 lim A →  ∞ ⁡ a r c o t a n g e n t e ( x ) A 0

Aplicando os limites de integração e resolvendo os limites temos que:

2 lim A →  ∞ ⁡ ( a r c o t a n g e n t e A - a r c o t a n g e n t e ( 0 ) ) = 2 π 2

Resposta

∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 = π

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